Jakie współrzędne określają rzut profilu punktu. Lekcja rysunku „konstruowanie rzutów punktów na powierzchnię przedmiotu”

Punkt jako pojęcie matematyczne nie ma wymiarów. Oczywiście, jeśli przedmiotem projekcji jest obiekt zerowymiarowy, to mówienie o jego projekcji nie ma sensu.

Ryc.9 Ryc.10

W geometrii wskazane jest rozważenie punktu jako obiektu fizycznego o wymiarach liniowych. Konwencjonalnie za punkt można przyjąć kulę o nieskończenie małym promieniu. Dzięki takiej interpretacji pojęcia punktu możemy mówić o jego rzutach.

Konstruując rzuty ortogonalne punktu, należy kierować się pierwszą niezmienną właściwością rzutu ortogonalnego: Rzut ortogonalny punktu jest punktem.

Położenie punktu w przestrzeni wyznaczają trzy współrzędne: X, Y, Z, pokazujące odległości, na jakie punkt jest usuwany z płaszczyzn rzutowania. Aby wyznaczyć te odległości, wystarczy wyznaczyć punkty styku tych prostych z płaszczyznami rzutowania i zmierzyć odpowiednie wielkości, które wskażą odpowiednio wartości odciętych X, rzędy Y i palcowanie Z punkty (ryc. 10).

Rzut punktu jest podstawą prostopadłej poprowadzonej z punktu na odpowiednią płaszczyznę rzutowania. Rzut poziomy zwrotnica A nazywa się rzutem prostokątnym punktu na poziomą płaszczyznę rzutowania, projekcja czołowa a /– odpowiednio na płaszczyźnie czołowej występów i profil a // – na płaszczyźnie profilu występów.

Bezpośredni Aaa, aa / I Aaa // nazywane są liniami wystającymi. Jednocześnie bezpośrednio Ach, punkt wystający A na poziomej płaszczyźnie rzutów nazywa się poziomo wystająca linia prosta, Aa / I Aaa //- odpowiednio: frontalnie I linie wystające z profilu.

Dwie linie projekcyjne przechodzące przez punkt A zdefiniować płaszczyznę, co zwykle nazywa się projekcja.

Przy przekształceniu układu przestrzennego rzut czołowy punktu A – a/ pozostaje na miejscu, jako należący do płaszczyzny, która nie zmienia swojego położenia podczas rozpatrywanej transformacji. Rzut poziomy – A wraz z poziomą płaszczyzną projekcji będzie się obracał w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara i będzie znajdował się w tej samej prostopadłej do osi X z projekcją czołową. Projekcja profilu - A // obróci się wraz z płaszczyzną profilu i pod koniec transformacji przyjmie położenie wskazane na rysunku 10. W tym przypadku - A // będzie należeć do prostopadłej do osi Z narysowane z punktu A / i zostanie usunięty z osi Z na tę samą odległość, co rzut poziomy A od osi X. Dlatego połączenie między rzutami poziomymi i profilowymi punktu można ustanowić za pomocą dwóch odcinków ortogonalnych aaa I tak, tak // oraz łuk okręgu łączący je ze środkiem w punkcie przecięcia osi ( O- pochodzenie). Zaznaczone połączenie służy do znalezienia brakującego rzutu (przy danych dwóch podanych). Położenie rzutu profilu (poziomego) według podanych rzutów poziomych (profilowych) i czołowych można znaleźć za pomocą linii prostej poprowadzonej pod kątem 45 0 od początku do osi Y(ta dwusieczna nazywa się linią prostą k– stała Monge’a). Preferowana jest pierwsza z tych metod, ponieważ jest dokładniejsza.

Dlatego:

1. Punkt w przestrzeni zostaje usunięty:

od płaszczyzny poziomej H Z,

od płaszczyzny czołowej V przez wartość danej współrzędnej Y,

od płaszczyzny profilu W według wartości współrzędnych. X.

2. Dwa rzuty dowolnego punktu należą do tej samej prostopadłej (jednej linii łączącej):

poziome i czołowe – prostopadłe do osi X,

poziome i profilowe – prostopadłe do osi Y,

czołowy i profilowy - prostopadły do ​​osi Z.

3. Położenie punktu w przestrzeni jest całkowicie określone przez położenie jego dwóch rzutów ortogonalnych. Dlatego - Wykorzystując dowolne dwa dane rzuty ortogonalne punktu, zawsze można skonstruować jego brakujący trzeci rzut.

Jeżeli punkt ma trzy określone współrzędne, wówczas taki punkt nazywa się punkt ogólnego stanowiska. Jeżeli punkt ma jedną lub dwie współrzędne o wartości zerowej, wówczas taki punkt nazywa się prywatny punkt.

Ryż. 11 Ryc. 12

Rysunek 11 przedstawia rysunek przestrzenny punktów o określonym położeniu, natomiast rysunek 12 przedstawia złożone rysunki (schematy) tych punktów. Kropka A należy do przedniej płaszczyzny rzutów, pkt W– pozioma płaszczyzna rzutowania, punkt Z– płaszczyzna i punkt rzutowania profilu D– oś x ( X).

Rzutowanie punktu na dwie płaszczyzny rzutowania

Tworzenie odcinka linii prostej AA 1 można przedstawić w wyniku ruchu punktu A w dowolnej płaszczyźnie H (ryc. 84, a), a utworzenie płaszczyzny jako ruchu odcinka linii prostej AB (ryc. 84, b).

Punkt jest głównym elementem geometrycznym linii i powierzchni, dlatego badanie rzutu prostokątnego obiektu rozpoczyna się od konstrukcji rzutów prostokątnych punktu.

W przestrzeni kąta dwuściennego utworzonego przez dwie prostopadłe płaszczyzny - płaszczyznę czołową (pionową) rzutów V i płaszczyznę poziomą rzutów H, umieszczamy punkt A (ryc. 85, a).

Linią przecięcia płaszczyzn projekcji jest linia prosta, zwana osią projekcji i oznaczona literą x.

Płaszczyzna V jest tu przedstawiona jako prostokąt, a płaszczyzna H jako równoległobok. Nachylona strona tego równoległoboku jest zwykle rysowana pod kątem 45° do jego poziomej strony. Przyjmuje się, że długość nachylonego boku jest równa 0,5 jego rzeczywistej długości.

Z punktu A prostopadłe schodzą na płaszczyzny V i H. Punkty a" i a przecięcia prostopadłych z płaszczyznami rzutów V i H są rzutami prostokątnymi punktu A. Figura Aaa x a" w przestrzeni jest prostokątem. Oś boczna tego prostokąta na obrazie wizualnym jest zmniejszona 2 razy.

Wyrównajmy płaszczyznę H z płaszczyzną V, obracając V wokół linii przecięcia płaszczyzn x. Rezultatem jest kompleksowy rysunek punktu A (ryc. 85, b)

Aby uprościć złożony rysunek, granice płaszczyzn projekcji V i H nie są wskazane (ryc. 85, c).

Prostopadłe poprowadzone z punktu A na płaszczyzny rzutowania nazywane są liniami rzutowania, a podstawy tych linii rzutowania – punkty a i a” – nazywane są rzutami punktu A: a” to rzut czołowy punktu A, a to rzut poziomy punktu A.

Linia a” a nazywana jest pionową linią połączenia projekcji.

Położenie rzutu punktu na złożonym rysunku zależy od położenia tego punktu w przestrzeni.

Jeżeli punkt A leży na poziomej płaszczyźnie rzutów H (ryc. 86, a), to jego rzut poziomy a pokrywa się z danym punktem, a rzut czołowy a” znajduje się na osi. Gdy punkt B znajduje się na przednim płaszczyzna rzutów V, jej rzut czołowy pokrywa się z tym punktem, a rzut poziomy leży na osi x. Rzuty poziome i czołowe danego punktu C, leżącego na osi x, pokrywają się z tym punktem punktów A, B i C pokazano na ryc. 86, b.

Rzutowanie punktu na trzy płaszczyzny projekcji

W przypadkach, gdy nie można wyobrazić sobie kształtu obiektu na podstawie dwóch rzutów, rzutuje się go na trzy płaszczyzny projekcyjne. W tym przypadku wprowadza się płaszczyznę projekcji profilu W, prostopadłą do płaszczyzn V i H. Wizualną reprezentację układu trzech płaszczyzn projekcji pokazano na ryc. 87, o.

Krawędzie kąta trójściennego (przecięcie płaszczyzn projekcji) nazywane są osiami projekcji i oznaczane są jako x, y i z. Przecięcie osi rzutów nazywa się początkiem osi rzutów i oznacza się je literą O. Spuśćmy prostopadłą z punktu A na płaszczyznę rzutowania W i zaznaczając podstawę prostopadłej literą „a” uzyskać rzut profilu punktu A.

Aby uzyskać złożony rysunek punktu A, płaszczyzny H i W łączy się z płaszczyzną V, obracając je wokół osi Ox i Oz. Kompleksowy rysunek punktu A pokazano na ryc. 87, bic.

Odcinki linii wystających z punktu A na płaszczyzny rzutowania nazywane są współrzędnymi punktu A i oznaczane są: x A, y A i z A.

Na przykład współrzędna z A punktu A, równa odcinku a”a x (ryc. 88, aib), jest odległością od punktu A do poziomej płaszczyzny rzutowania H. Współrzędna y punktu A, równa odcinek aa x, to odległość punktu A od płaszczyzny czołowej rzutów V. Współrzędna x A, równa odcinku aa y - odległość punktu A od płaszczyzny profilu rzutów W.

Zatem odległość rzutu punktu od osi rzutu wyznacza współrzędne punktu i jest kluczem do odczytania jego złożonego rysunku. Z dwóch rzutów punktu można wyznaczyć wszystkie trzy współrzędne punktu.

Jeśli zostaną podane współrzędne punktu A (np. x A = 20 mm, y A = 22 mm i z A = 25 mm), to można skonstruować trzy rzuty tego punktu.

W tym celu od początku współrzędnych O w kierunku osi Oz układa się współrzędną z A i współrzędną y A z końców odłożonych odcinków - punkty a z i a y (ryc 88, a) - narysuj linie proste równoległe do osi Wółu i ułóż je na odcinkach równych współrzędnej x A. Powstałe punkty a" i a są rzutami czołowymi i poziomymi punktu A.

Korzystając z dwóch rzutów a" i a punktu A, można skonstruować jego rzut profilu na trzy sposoby:

1) od początku współrzędnych O narysuj łuk pomocniczy o promieniu Oa y równym współrzędnej (ryc. 87, b i c), z powstałego punktu a y1 narysuj linię prostą równoległą do osi Oz i ułóż poza segmentem równym z A;

2) z punktu ay narysuj pomocniczą linię prostą pod kątem 45° do osi Oy (ryc. 88, a), uzyskaj punkt ay1 itd.;

3) od początku O narysuj pomocniczą linię prostą pod kątem 45° do osi Oy (ryc. 88, b), uzyskaj punkt a y1 itd.

Położenie punktu w przestrzeni można określić za pomocą jego dwóch rzutów ortogonalnych, na przykład poziomego i czołowego, czołowego i profilowego. Kombinacja dowolnych dwóch rzutów ortogonalnych pozwala znaleźć wartość wszystkich współrzędnych punktu, skonstruować trzeci rzut i określić oktant, w którym się on znajduje. Przyjrzyjmy się kilku typowym problemom z kursu geometrii wykreślnej.

Dla danego złożonego rysunku punktów A i B konieczne jest:

Wyznaczmy najpierw współrzędne punktu A, które można zapisać w postaci A (x, y, z). Rzut poziomy punktu A - punkt A", mający współrzędne x, y. Narysujmy prostopadłe z punktu A" do osi x, y i znajdź odpowiednio A x, A y. Współrzędna x punktu A jest równa długości odcinka A x O ze znakiem plus, ponieważ A x leży w obszarze dodatnich wartości osi x. Biorąc pod uwagę skalę rysunku, znajdujemy x = 10. Współrzędna y jest równa długości odcinka A y O ze znakiem minus, ponieważ t. A y leży w obszarze wartości ujemnych oś Y. Biorąc pod uwagę skalę rysunku, y = –30. Rzut czołowy punktu A - punkt A"" ma współrzędne x i z. Rzućmy prostopadłą z A" na oś z i znajdźmy A z. Współrzędna z punktu A jest równa długości odcinka A z O ze znakiem minus, ponieważ A z leży w obszarze ujemnych wartości osi z. Biorąc pod uwagę skalę rysunku z = –10. Zatem współrzędne punktu A wynoszą (10, –30, –10).

Współrzędne punktu B można zapisać jako B (x, y, z). Rozważmy rzut poziomy punktu B - punktu B”. Ponieważ leży on na osi x, wówczas B x = B” i współrzędna B y = 0. Odcięta x punktu B jest równa długości odcinka B x O ze znakiem plus. Biorąc pod uwagę skalę rysunku x = 30. Rzut czołowy punktu B to t B˝ ma współrzędne x, z. Narysujmy prostopadłą od B"" do osi z, znajdując w ten sposób B z. Zastosowanie z punktu B jest równe długości odcinka B z O ze znakiem minus, ponieważ B z leży w obszarze ujemnych wartości osi z. Biorąc pod uwagę skalę rysunku, wyznaczamy wartość z = –20. Zatem współrzędne B to (30, 0, -20). Wszystkie niezbędne konstrukcje przedstawiono na poniższym rysunku.

Konstrukcja rzutów punktów

Punkty A i B na płaszczyźnie P 3 mają współrzędne: A""" (y, z); B""" (y, z). W tym przypadku A"" i A""" leżą na tej samej prostopadłej do osi z, ponieważ mają wspólną współrzędną z. Podobnie B"" i B""" leżą na wspólnej prostopadłej do osi z. Aby znaleźć rzut profilu punktu A, nanosimy wzdłuż osi Y wartość odpowiedniej współrzędnej znalezionej wcześniej. Na rysunku odbywa się to za pomocą łuku kołowego o promieniu A y O. Następnie narysuj prostopadłą od A y, aż przetnie się z prostopadłą przywróconą z punktu A" do osi z. Punkt przecięcia tych dwóch prostopadłych wyznacza położenie A""".

Punkt B""" leży na osi z, ponieważ współrzędna y tego punktu wynosi zero. Aby znaleźć rzut profilu punktu B w tym zadaniu, wystarczy narysować prostopadłą z B"" do osi z. punkt przecięcia tej prostopadłej z osią z to B „””.

Wyznaczanie położenia punktów w przestrzeni

Wyobrażając sobie wizualnie układ przestrzenny, złożony z płaszczyzn rzutowych P 1, P 2 i P 3, położenie oktanów, a także kolejność przekształcania układu na diagramy, można bezpośrednio określić, że punkt A znajduje się w III oktancie , a punkt B leży na płaszczyźnie P 2.

Inną opcją rozwiązania tego problemu jest metoda wyjątków. Na przykład współrzędne punktu A to (10, -30, -10). Dodatnia odcięta x pozwala ocenić, że punkt znajduje się w pierwszych czterech oktanach. Ujemna współrzędna y wskazuje, że punkt znajduje się w drugim lub trzecim oktancie. Wreszcie ujemna aplikacja z wskazuje, że punkt A znajduje się w trzecim oktancie. Poniższa tabela jasno ilustruje powyższe rozumowanie.

Współrzędne punktu B (30, 0, -20). Ponieważ rzędna punktu B jest równa zeru, punkt ten znajduje się na płaszczyźnie rzutu P 2. Dodatnia odcięta i ujemna aplikacja t. B wskazują, że znajduje się ona na granicy trzeciej i czwartej oktanty.

Konstrukcja obrazu wizualnego punktów układu płaszczyzn P 1, P 2, P 3

Wykorzystując czołowy rzut izometryczny zbudowaliśmy układ przestrzenny III oktantu. Jest to trójkąt prostokątny, którego ścianami są płaszczyzny P 1, P 2, P 3, a kąt (-y0x) wynosi 45 º. W tym systemie segmenty wzdłuż osi x, y, z zostaną wykreślone w naturalnym rozmiarze, bez zniekształceń.

Zacznijmy konstruować wizualny obraz punktu A (10, -30, -10) z jego rzutem poziomym A. Po wykreśleniu odpowiednich współrzędnych wzdłuż osi odciętych i rzędnych, znajdujemy punkty A x i A y przecięcie prostopadłych zrekonstruowany odpowiednio z A x i A y na osie x i y wyznacza położenie punktu A”. Odkładając z A” równolegle do osi z w kierunku jej wartości ujemnych odcinek AA”, którego długość wynosi 10, znajdujemy położenie punktu A.

Obraz wizualny punktu B (30, 0, -20) buduje się w podobny sposób - w płaszczyźnie P2 wzdłuż osi x i z należy wykreślić odpowiednie współrzędne. Przecięcie prostopadłych zrekonstruowanych z B x i B z wyznaczy położenie punktu B.

Rozważmy płaszczyznę profilu występów. Rzuty na dwie prostopadłe płaszczyzny zazwyczaj określają położenie figury i pozwalają poznać jej rzeczywistą wielkość i kształt. Ale są chwile, kiedy dwie projekcje nie wystarczą. Następnie stosuje się konstrukcję trzeciego rzutu.

Trzecia płaszczyzna projekcji jest rysowana tak, aby była prostopadła do obu płaszczyzn projekcji jednocześnie (ryc. 15). Zwykle nazywana jest trzecia płaszczyzna profil.

W takich konstrukcjach nazywa się wspólną linię prostą płaszczyzny poziomej i czołowej oś X , wspólna prosta płaszczyzny poziomej i profilowej – oś Na , a wspólna linia prosta płaszczyzny czołowej i profilowej to oś z . Kropka O, który należy do wszystkich trzech płaszczyzn, nazywany jest punktem początkowym.

Rysunek 15a pokazuje ten punkt A i trzy jego projekcje. Rzut na płaszczyznę profilu ( A) są nazywane projekcja profilu i oznaczać A.

Aby uzyskać diagram punktu A, który składa się z trzech rzutów a, a, a, należy przeciąć trójścian utworzony przez wszystkie płaszczyzny wzdłuż osi y (ryc. 15b) i połączyć wszystkie te płaszczyzny z płaszczyzną rzutu czołowego. Płaszczyzna pozioma musi zostać obrócona wokół osi X, a płaszczyzna profilu znajduje się wokół osi z w kierunku wskazanym strzałką na Rysunku 15.

Rysunek 16 pokazuje położenie występów a, a I A zwrotnica A, uzyskany poprzez połączenie wszystkich trzech płaszczyzn z płaszczyzną rysunkową.

W wyniku cięcia oś Y pojawia się w dwóch różnych miejscach na diagramie. Na płaszczyźnie poziomej (ryc. 16) przyjmuje położenie pionowe (prostopadle do osi). X), a na płaszczyźnie profilu – poziomą (prostopadle do osi z).

Na rysunku 16 przedstawiono trzy rzuty a, a I A punkty A mają ściśle określone położenie na diagramie i podlegają jednoznacznym warunkom:

A I A powinny zawsze znajdować się na tej samej linii pionowej, prostopadłej do osi X;

A I A powinny zawsze leżeć na tej samej poziomej linii prostej, prostopadłej do osi z;

3) przeprowadza się przez rzut poziomy i prostą poziomą oraz poprzez rzut profilowy A– pionowa linia prosta, zbudowane linie proste będą koniecznie przecinać się na dwusiecznej kąta między osiami rzutowania, ponieważ figura Och Na A 0 A n – kwadrat.

Konstruując trzy rzuty punktu, należy sprawdzić, czy dla każdego punktu spełnione są wszystkie trzy warunki.

Współrzędne punktu

Położenie punktu w przestrzeni można określić za pomocą trzech liczb zwanych jego współrzędne. Każda współrzędna odpowiada odległości punktu od jakiejś płaszczyzny projekcji.

Określona odległość punktowa A do płaszczyzny profilu jest współrzędną X, w której X = a˝A(Rys. 15), odległość do płaszczyzny czołowej ma współrzędną y, a y = AA, a odległość do płaszczyzny poziomej jest współrzędną z, w której z = aA.

Na rysunku 15 punkt A zajmuje szerokość równoległościanu prostokątnego, a wymiary tego równoległościanu odpowiadają współrzędnym tego punktu, czyli każda ze współrzędnych jest przedstawiona na rysunku 15 czterokrotnie, tj.:

x = a˝A = Oa x = a y a = a z á;

y = а́А = Оа y = а x а = а z а˝;

z = aA = Oa z = a x á = a y a˝.

Na schemacie (ryc. 16) współrzędne x i z pojawiają się trzykrotnie:

x = a z a ́= Oa x = a y a,

z = a x á = Oa z = a y a˝.

Wszystkie segmenty odpowiadające współrzędnej X(Lub z) są do siebie równoległe. Koordynować Na reprezentowana dwukrotnie przez oś umieszczoną pionowo:

y = Oa y = a x a

i dwukrotnie – umieszczone poziomo:

y = Oa y = a z a˝.

Różnica ta wynika z faktu, że oś Y występuje na wykresie w dwóch różnych pozycjach.

Należy wziąć pod uwagę, że położenie każdego występu wyznaczają na schemacie tylko dwie współrzędne, a mianowicie:

1) poziome – współrzędne X I Na,

2) czołowy – współrzędne X I z,

3) profil – współrzędne Na I z.

Używanie współrzędnych x, y I z, możesz skonstruować rzuty punktu na diagramie.

Jeżeli punkt A jest określony przez współrzędne, ich zapis definiuje się następująco: A ( X; y; z).

Podczas konstruowania rzutów punktowych A należy sprawdzić następujące warunki:

1) rzuty poziome i czołowe A I A X X;

2) występy czołowe i profilowe A I A muszą znajdować się w tej samej prostopadłości do osi z, ponieważ mają wspólną współrzędną z;

3) rzut poziomy i również usunięty z osi X, jak projekcja profilu A od osi z, gdyż rzuty á i a˝ mają wspólną współrzędną Na.

Jeżeli punkt leży w którejkolwiek z płaszczyzn rzutowania, to jedna z jego współrzędnych jest równa zeru.

Gdy punkt leży na osi rzutowania, dwie jego współrzędne są równe zeru.

Jeśli punkt leży w początku układu, wszystkie trzy jego współrzędne wynoszą zero.

Projekcje liniowe

Aby zdefiniować linię prostą potrzebne są dwa punkty. Punkt wyznacza się za pomocą dwóch rzutów na płaszczyznę poziomą i czołową, czyli linię prostą wyznacza się za pomocą rzutów jej dwóch punktów na płaszczyznę poziomą i czołową.

Rysunek 17 przedstawia rzuty ( A I a, b I B) dwa punkty A i B. Za ich pomocą określa się położenie określonej linii AB. Łącząc rzuty tych punktów o tej samej nazwie (tj. A I b, za I B) można uzyskać rzuty ok I ok proste AB.

Rysunek 18 przedstawia rzuty obu punktów, a rysunek 19 przedstawia rzuty prostej przechodzącej przez nie.

Jeżeli rzuty linii wyznaczają rzuty dwóch jej punktów, to są one oznaczone dwiema sąsiadującymi ze sobą literami łacińskimi odpowiadającymi oznaczeniom rzutów punktów przyjętych na linię: kreskami oznaczającymi rzut czołowy linii linii lub bez kresek dla rzutu poziomego.

Jeśli weźmiemy pod uwagę nie poszczególne punkty linii, ale jej rzuty jako całość, wówczas rzuty te są oznaczone liczbami.

Jeśli jakiś punkt Z leży na linii prostej AB, jego rzuty с i с́ znajdują się na tych samych rzutach linii ok I ok. Sytuację tę ilustruje rysunek 19.

Ślady linii prostej

Szlak jest prosty- jest to punkt jego przecięcia z określoną płaszczyzną lub powierzchnią (ryc. 20).

Poziomy ślad linii prostej nazywa się jakiś punkt H, w którym linia prosta styka się z płaszczyzną poziomą, oraz czołowy- kropka V, w którym ta linia prosta styka się z płaszczyzną czołową (ryc. 20).

Rysunek 21a przedstawia poziomy ślad linii prostej, a jej przedni ślad pokazano na rysunku 21b.

Czasami uwzględniany jest również ślad profilu linii prostej, W– punkt przecięcia prostej z płaszczyzną profilu.

Ścieżka pozioma znajduje się w płaszczyźnie poziomej, czyli w jej rzucie poziomym H pokrywa się z tym śladem i frontem H leży na osi x. Ścieżka czołowa leży w płaszczyźnie czołowej, dlatego jej rzut czołowy ν́ pokrywa się z nią, a rzut poziomy v leży na osi x.

Więc, H = H, I V= ν́. Dlatego do oznaczenia śladów linii prostej można używać liter H i ν́.

Różne proste pozycje

Bezpośrednio się nazywa ogólne stanowisko, jeśli nie jest ani równoległy, ani prostopadły do ​​żadnej płaszczyzny projekcji. Rzuty linii prostej w położeniu ogólnym również nie są równoległe i nie są prostopadłe do osi rzutów.

Linie proste równoległe do jednej z płaszczyzn rzutowania (prostopadle do jednej z osi). Rysunek 22 przedstawia linię prostą równoległą do płaszczyzny poziomej (prostopadle do osi z), - linię prostą poziomą; Rysunek 23 przedstawia linię prostą równoległą do płaszczyzny czołowej (prostopadle do osi). Na), – linia frontu; Rysunek 24 przedstawia linię prostą równoległą do płaszczyzny profilu (prostopadłą do osi). X), – linia prosta profilu. Pomimo tego, że każda z tych linii tworzy kąt prosty z jedną z osi, nie przecinają jej, a jedynie się z nią przecinają.

Z uwagi na to, że pozioma prosta (rys. 22) jest równoległa do płaszczyzny poziomej, jej rzuty czołowe i profilowe będą równoległe do osi wyznaczających płaszczyznę poziomą, czyli osi X I Na. Dlatego prognozy ab́|| X I a˝b˝|| Na z. Rzut poziomy ab może zajmować dowolne miejsce na diagramie.

Na przedniej prostej (ryc. 23) występ ok|| x i a˝b˝ || z, czyli są prostopadłe do osi Na, a zatem w tym przypadku projekcja czołowa ok linia prosta może przyjąć dowolną pozycję.

Na linii prostej profilu (ryc. 24) ok|| y, ab|| z, a oba są prostopadłe do osi x. Występ a˝b˝ można umieścić na schemacie w dowolny sposób.

Rozpatrując płaszczyznę rzutującą poziomą linię prostą na płaszczyznę czołową (rys. 22), można zauważyć, że rzutuje ona tę prostą na płaszczyznę profilu, czyli jest to płaszczyzna rzutująca linię prostą na dwie płaszczyzny rzutowania jednocześnie - przód i profil. Na tej podstawie nazywa się podwójna płaszczyzna wystająca. W ten sam sposób dla prostej czołowej (ryc. 23) płaszczyzna podwójnego rzutu rzutuje ją na płaszczyznę rzutów poziomych i profilowych, a dla linii profilowej (ryc. 23) - na płaszczyznę poziomą i czołową projekcje.

Dwa rzuty nie mogą zdefiniować linii prostej. Dwie projekcje 1 I 1 linia profilu (ryc. 25) bez określenia rzutów na nie dwóch punktów tej linii nie określi położenia tej linii w przestrzeni.

W płaszczyźnie prostopadłej do dwóch danych płaszczyzn symetrii możliwe jest istnienie nieskończonej liczby prostych, dla których dane na schemacie 1 I 1 są ich prognozy.

Jeżeli punkt leży na prostej, to jego rzuty we wszystkich przypadkach leżą na tych samych rzutach tej prostej. Odwrotna sytuacja nie zawsze ma miejsce w przypadku linii prostej profilu. Na jego rzutach możesz dowolnie wskazać rzuty określonego punktu i nie mieć pewności, że ten punkt leży na tej prostej.

We wszystkich trzech szczególnych przypadkach (ryc. 22, 23 i 24) położenie prostej względem płaszczyzny rzutu jest jej dowolnym odcinkiem AB, wzięty na każdej z linii prostych, jest rzutowany na jedną z płaszczyzn projekcji bez zniekształceń, to znaczy na płaszczyznę, do której jest równoległy. Odcinek AB pozioma linia prosta (ryc. 22) daje pełnowymiarowy rzut na płaszczyznę poziomą ( ok = AB); odcinek AB prosta czołowa (ryc. 23) – w pełnym rozmiarze na płaszczyźnie płaszczyzny czołowej V ( ab́ = AB) i segment AB profil prosty (rys. 24) – w pełnym wymiarze na płaszczyźnie profilu W (a˝b˝= AB), czyli wydaje się, że możliwe jest zmierzenie rzeczywistej wielkości odcinka na rysunku.

Inaczej mówiąc, za pomocą diagramów można wyznaczyć naturalne wymiary kątów, jakie dana prosta tworzy z płaszczyznami rzutowania.

Kąt, jaki linia prosta tworzy z płaszczyzną poziomą N, oznacza się zwykle literą α, z płaszczyzną czołową – literą β, z płaszczyzną profilu – literą γ.

Żadna z rozpatrywanych prostych nie ma śladu na płaszczyźnie do niej równoległej, tj. prosta pozioma nie ma śladu poziomego (ryc. 22), prosta czołowa nie ma śladu czołowego (ryc. 23), a prosta profilowa linia nie ma śladu profilu (ryc. 24).

Jak wiadomo, powierzchnie wielościanów są ograniczone figurami płaskimi. W związku z tym punkty określone na powierzchni wielościanu przez co najmniej jeden rzut są w ogólnym przypadku punktami określonymi. To samo dotyczy powierzchni innych ciał geometrycznych: cylindra, stożka, kuli i torusa, ograniczonych zakrzywionymi powierzchniami.

Zgódźmy się na przedstawianie widocznych punktów leżących na powierzchni ciała jako okręgów, niewidzialnych punktów jako poczerniałych okręgów (kropek); Widoczne linie zostaną przedstawione jako linie ciągłe, a niewidoczne jako linie przerywane.

Niech zostanie podany poziomy rzut A 1 punktu A leżącego na powierzchni prawego trójkątnego pryzmatu (ryc. 162, a).

TBegin-->TEnd-->

Jak widać z rysunku, przednia i tylna podstawa pryzmatu są równoległe do przedniej płaszczyzny występów P 2 i są na nią rzutowane bez zniekształceń, dolna powierzchnia boczna pryzmatu jest równoległa do poziomej płaszczyzny występów P 1 i jest również wyświetlany bez zniekształceń. Boczne krawędzie pryzmatu wystają do przodu liniami prostymi, dlatego są rzutowane w postaci punktów na czołową płaszczyznę występów P 2.

Ponieważ projekcja A 1. jest przedstawiony jako jasny okrąg, wówczas punkt A jest widoczny i dlatego znajduje się po prawej stronie pryzmatu. Ta ściana jest płaszczyzną wystającą do przodu, a rzut czołowy punktu A2 musi pokrywać się z rzutem czołowym płaszczyzny, reprezentowanym przez linię prostą.

Rysując stałą linię prostą k 123, znajdujemy trzeci rzut A 3 punktu A. W rzucie na płaszczyznę profilu rzutów punkt A będzie niewidoczny, dlatego punkt A 3 jest przedstawiony jako zaczerniony okrąg. Określenie punktu w rzucie czołowym B 2 jest niepewne, ponieważ nie określa odległości punktu B od przedniej podstawy pryzmatu.

Skonstruujmy rzut izometryczny pryzmatu i punktu A (ryc. 162, b). Budowę wygodnie jest rozpocząć od przedniej podstawy pryzmatu. Budujemy trójkąt podstawowy zgodnie z wymiarami zaczerpniętymi ze złożonego rysunku; wzdłuż osi y" nanosimy wielkość krawędzi pryzmatu. Obraz aksonometryczny A" punktu A konstruujemy za pomocą linii łamanej współrzędnych, obrysowanej na obu rysunkach podwójną cienką linią.

Niech zostanie podany rzut czołowy C 2 punktu C leżącego na powierzchni regularnej czworokątnej piramidy wyznaczonej przez dwa główne występy (ryc. 163, a). Należy skonstruować trzy rzuty punktu C.

Z rzutu czołowego widać, że wierzchołek piramidy jest wyższy niż kwadratowa podstawa piramidy. W tych warunkach wszystkie cztery ściany boczne będą widoczne w rzucie na poziomą płaszczyznę występów P 1. Podczas rzutowania projekcji P2 na płaszczyznę czołową widoczna będzie tylko przednia ściana piramidy. Ponieważ rzut C 2 jest pokazany na rysunku jako jasny okrąg, punkt C jest widoczny i należy do przedniej ściany piramidy. Aby skonstruować rzut poziomy C 1, przeciągamy przez punkt C 2 pomocniczą linię prostą D 2 E 2, równoległą do linii podstawy piramidy. Znajdujemy jego rzut poziomy D 1 E 1 i punkt C 1 na nim. Jeśli istnieje trzeci rzut piramidy, rzut poziomy punktu C 1 znajdujemy prościej: po znalezieniu rzutu profilu C 3, używając dwóch rzutów. zbuduj trzecią, wykorzystując poziome i poziomo-pionowe linie komunikacyjne. Postęp budowy pokazany jest na rysunku strzałkami.

Rozpocznij-->
TEnd-->

Skonstruujmy rzut dimetryczny piramidy i punktu C (ryc. 163, b). Budujemy podstawę piramidy; w tym celu narysuj osie x” i y” przechodzące przez punkt O” leżący na osi r; Wzdłuż osi x nanosimy rzeczywiste wymiary podstawy, a na osi y wymiary zmniejszone o połowę. Przez uzyskane punkty rysujemy proste równoległe do osi x" i y". Wzdłuż osi z" nanosimy wysokość ostrosłupa, uzyskany punkt łączymy z punktami podstawy, biorąc pod uwagę widoczność krawędzi. Do skonstruowania punktu C używamy linii łamanej współrzędnych, zaznaczonej na rysunkach podwójną cienką linią Aby sprawdzić dokładność rozwiązania, przeciągamy przez znaleziony punkt C linię prostą D „E”, równoległą oś x”. Jego długość musi być równa długości linii prostej D 2 E 2 (lub D 1 E 1).