Um den Umfang eines Dreiecks zu ermitteln, benötigen Sie. So ermitteln Sie den Umfang eines Dreiecks, wenn nicht alle Seiten bekannt sind. Berechnen des Umfangs eines Dreiecks anhand des Radius des darin eingeschriebenen Kreises

Der Umfang ist eine Größe, die die Länge aller Seiten einer flachen (zweidimensionalen) geometrischen Figur angibt. Für verschiedene geometrische Formen gibt es unterschiedliche Möglichkeiten, den Umfang zu ermitteln.

In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie den Umfang einer Figur abhängig von den bekannten Gesichtern auf unterschiedliche Weise ermitteln können.

Mögliche Methoden:

• alle drei Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks oder eines anderen Dreiecks sind bekannt;
• wie man den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks anhand seiner beiden bekannten Seiten ermittelt;
• zwei Flächen und der Winkel, der zwischen ihnen liegt (Kosinusformel), ohne Mittellinie und Höhe bekannt.

Erste Methode: Alle Seiten der Figur sind bekannt

So ermitteln Sie den Umfang eines Dreiecks, wenn alle drei Flächen bekannt sind, müssen Sie die folgende Formel verwenden: P = a + b + c, wobei a,b,c die bekannten Längen aller Seiten des Dreiecks sind und P der Umfang der Figur ist.

Beispielsweise sind drei Seiten der Figur bekannt: a = 24 cm, b = 24 cm, c = 24 cm. Zur Berechnung des Umfangs verwenden wir die Formel: P = 24 + 24 + 24 = 72 cm.

Diese Formel gilt für jedes Dreieck., Sie müssen nur die Längen aller seiner Seiten kennen. Wenn mindestens eine davon unbekannt ist, müssen Sie andere Methoden verwenden, die wir weiter unten besprechen.

Ein weiteres Beispiel: a = 15 cm, b = 13 cm, c = 17 cm. Berechnen Sie den Umfang: P = 15 + 13 + 17 = 45 cm.

Es ist sehr wichtig, die Maßeinheit in der erhaltenen Antwort zu markieren. In unseren Beispielen werden die Seitenlängen in Zentimetern (cm) angegeben, es gibt jedoch verschiedene Aufgaben, bei denen andere Maßeinheiten vorhanden sind.

Zweite Methode: ein rechtwinkliges Dreieck und seine beiden bekannten Seiten

Für den Fall, dass der zu lösenden Aufgabe eine rechteckige Figur gegeben wird, deren Längen von zwei Flächen bekannt sind, die dritte jedoch nicht, muss der Satz des Pythagoras verwendet werden.

Beschreibt die Beziehung zwischen den Flächen eines rechtwinkligen Dreiecks. Die durch diesen Satz beschriebene Formel ist einer der bekanntesten und am häufigsten verwendeten Sätze in der Geometrie. Also der Satz selbst:

Die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks werden durch die folgende Gleichung beschrieben: a^2 + b^2 = c^2, wobei a und b die Schenkel der Figur und c die Hypotenuse sind.

• Hypotenuse. Sie liegt immer gegenüber dem rechten Winkel (90 Grad) und ist gleichzeitig die längste Kante des Dreiecks. In der Mathematik ist es üblich, die Hypotenuse mit dem Buchstaben c zu bezeichnen.
• Beine- das sind die Kanten eines rechtwinkligen Dreiecks, die zu einem rechten Winkel gehören und mit den Buchstaben a und b bezeichnet werden. Eines der Beine entspricht ebenfalls der Höhe der Figur.

Wenn also die Bedingungen des Problems die Längen von zwei der drei Flächen einer solchen geometrischen Figur angeben, muss mithilfe des Satzes des Pythagoras die Abmessung der dritten Fläche ermittelt und dann die Formel aus der ersten Methode verwendet werden.

Zum Beispiel kennen wir die Länge von 2 Beinen: a = 3 cm, b = 5 cm. Setzen Sie die Werte in den Satz ein: 3^2 + 4^2 = c^2 => 9 + 16 = c^2 => 25 = c ^2 => c = 5 cm Die Hypotenuse eines solchen Dreiecks ist übrigens das gebräuchlichste und heißt. Mit anderen Worten: Wenn zwei Beine einer Figur 3 cm und 4 cm lang sind, beträgt die Hypotenuse jeweils 5 cm.

Wenn die Länge eines der Beine unbekannt ist, muss die Formel wie folgt umgeformt werden: c^2 – a^2 = b^2. Und umgekehrt gilt das auch für das andere Bein.

Fahren wir mit dem Beispiel fort. Jetzt müssen Sie sich der Standardformel zum Ermitteln des Umfangs einer Figur zuwenden: P = a + b + c. In unserem Fall: P = 3 + 4 + 5 = 12 cm.

Dritte Methode: auf zwei Flächen und dem Winkel zwischen ihnen

Sowohl in der Oberschule als auch an der Universität muss man sich am häufigsten dieser Methode zur Ermittlung des Umfangs zuwenden. Wenn die Bedingungen des Problems die Längen zweier Seiten sowie die Abmessung des Winkels zwischen ihnen angeben, dann Sie müssen den Kosinussatz verwenden.

Dieser Satz gilt für absolut jedes Dreieck, was ihn zu einem der nützlichsten in der Geometrie macht. Der Satz selbst sieht so aus: c^2 = a^2 + b^2 – (2 * a * b * cos(C)), wobei a,b,c die Standardlängen der Flächen sind und A,B und C sind Winkel, die den entsprechenden Flächen des Dreiecks gegenüber liegen. Das heißt, A ist der Winkel gegenüber der Seite a und so weiter.

Stellen wir uns vor, dass ein Dreieck beschrieben wird, dessen Seiten a und b 100 cm bzw. 120 cm betragen und der Winkel zwischen ihnen 97 Grad beträgt. Das heißt, a = 100 cm, b = 120 cm, C = 97 Grad.

In diesem Fall müssen Sie lediglich alle bekannten Werte in den Kosinussatz einsetzen. Die Längen der bekannten Flächen werden quadriert, anschließend werden die bekannten Seiten untereinander und mit zwei multipliziert und mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen multipliziert. Als nächstes müssen Sie die Quadrate der Flächen addieren und den zweiten daraus erhaltenen Wert subtrahieren. Aus dem Endwert wird die Quadratwurzel gezogen – das ist die dritte, bisher unbekannte Seite.

Nachdem alle drei Seiten der Figur bekannt sind, bleibt noch die Standardformel zum Ermitteln des Umfangs der beschriebenen Figur aus der ersten Methode zu verwenden, die wir bereits lieben.

In diesem Artikel zeigen wir anhand von Beispielen, wie man den Umfang eines Dreiecks ermittelt. Betrachten wir alle Hauptfälle, wie man den Umfang von Dreiecken ermittelt, auch wenn nicht alle Seitenwerte bekannt sind.

Dreieck ist eine einfache geometrische Figur, die aus drei sich schneidenden Geraden besteht. Dabei heißen die Schnittpunkte der Geraden Scheitelpunkte und die sie verbindenden Geraden Seiten.
Umfang eines Dreiecks heißt die Summe der Seitenlängen eines Dreiecks. Es hängt davon ab, wie viele Ausgangsdaten wir zur Berechnung des Umfangs des Dreiecks benötigen, welche Option wir zur Berechnung verwenden.
Erste Wahl
Wenn wir die Längen der Seiten n, y und z des Dreiecks kennen, können wir den Umfang mit der folgenden Formel bestimmen: wobei P der Umfang ist, n, y, z die Seiten des Dreiecks sind

Formel für den Umfang eines Rechtecks

P = n + y + z

Schauen wir uns ein Beispiel an:
Gegeben sei ein Dreieck ksv mit den Seitenlängen k = 10 cm, s = 10 cm, v = 8 cm. Finden Sie seinen Umfang.
Mit der Formel erhalten wir 10 + 10 + 8 = 28.
Antwort: P = 28cm.

Für ein gleichseitiges Dreieck ermitteln wir den Umfang wie folgt: die Länge einer Seite multipliziert mit drei. die formel sieht so aus:
P = 3n
Schauen wir uns ein Beispiel an:
Gegeben sei ein Dreieck ksv, dessen Seiten k = 10 cm, s = 10 cm, v = 10 cm sind. Finden Sie seinen Umfang.
Mit der Formel erhalten wir 10 * 3 = 30
Antwort: P = 30 cm.

Für ein gleichschenkliges Dreieck ermitteln wir den Umfang wie folgt: Zur Länge einer Seite multipliziert mit zwei addieren wir die Seite der Basis
Ein gleichschenkliges Dreieck ist das einfachste Polygon, bei dem zwei Seiten gleich sind und die dritte Seite Basis genannt wird.

P = 2n + z

Schauen wir uns ein Beispiel an:
Gegeben sei ein Dreieck ksv mit den Seitenlängen k = 10 cm, s = 10 cm, v = 7 cm. Finden Sie seinen Umfang.
Mit der Formel erhalten wir 2 * 10 + 7 = 27.
Antwort: P = 27cm.
Zweite Option
Wenn wir die Länge einer Seite nicht kennen, aber die Längen der anderen beiden Seiten und den Winkel zwischen ihnen kennen, und der Umfang des Dreiecks erst ermittelt werden kann, wenn wir die Länge der dritten Seite kennen. In diesem Fall ist die unbekannte Seite gleich der Quadratwurzel des Ausdrucks b2 + c2 - 2 ∙ b ∙ c ∙ cosβ

P = n + y + √ (n2 + y2 - 2 ∙ n ∙ y ∙ cos α)
n, y - Seitenlängen
α ist die uns bekannte Größe des Winkels zwischen den Seiten

Dritte Option
Wenn wir die Seiten n und y nicht kennen, aber wir kennen die Länge der Seite z und die daran angrenzenden Werte. In diesem Fall können wir den Umfang des Dreiecks nur ermitteln, wenn wir die Längen zweier uns unbekannter Seiten ermitteln und sie mithilfe des Sinussatzes und der Formel bestimmen

P = z + sinα ∙ z / (sin (180°-α - β)) + sinβ ∙ z / (sin (180°-α - β))
z ist die Länge der uns bekannten Seite
α, β – uns bekannte Winkelgrößen

Vierte Option
Sie können den Umfang eines Dreiecks auch anhand des in seinen Umfang eingeschriebenen Radius und der Fläche des Dreiecks ermitteln. Den Umfang ermitteln wir mit der Formel

P=2S/r
S – Fläche des Dreiecks
r ist der Radius des darin eingeschriebenen Kreises

Wir haben vier verschiedene Möglichkeiten zur Bestimmung des Umfangs eines Dreiecks besprochen.
Den Umfang eines Dreiecks zu ermitteln ist im Prinzip nicht schwierig. Wenn Sie Fragen oder Ergänzungen zum Artikel haben, schreiben Sie diese unbedingt in die Kommentare.

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Inhalt:

Der Umfang ist die Gesamtlänge der Grenzen einer zweidimensionalen Form. Wenn Sie den Umfang eines Dreiecks ermitteln möchten, müssen Sie die Längen aller seiner Seiten addieren. Wenn Sie die Länge mindestens einer Seite des Dreiecks nicht kennen, müssen Sie sie ermitteln. In diesem Artikel erfahren Sie, (a) wie Sie den Umfang eines Dreiecks mit drei bekannten Seiten ermitteln; (b) wie man den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks ermittelt, wenn nur zwei Seiten bekannt sind; (c) wie man den Umfang eines beliebigen Dreiecks ermittelt, wenn zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen gegeben sind (unter Verwendung des Kosinussatzes).

Schritte

1 Laut diesen drei Seiten

1. 1 Um den Umfang zu ermitteln, verwenden Sie die Formel: P = a + b + c, wobei a, b, c die Längen der drei Seiten sind, P der Umfang.
2. 2 Finden Sie die Längen aller drei Seiten. In unserem Beispiel: a = 5, b = 5, c = 5.
   • Es handelt sich um ein gleichseitiges Dreieck, da alle drei Seiten gleich lang sind. Aber die obige Formel gilt für jedes Dreieck.
3. 3 Addieren Sie die Längen aller drei Seiten, um den Umfang zu ermitteln. In unserem Beispiel: 5 + 5 + 5 = 15, also P = 15.
   • Ein weiteres Beispiel: a = 4, b = 3, c = 5. P = 3 + 4 + 5 = 12.
4. 4 Vergessen Sie nicht, in Ihrer Antwort die Maßeinheit anzugeben. In unserem Beispiel werden die Seiten in Zentimetern gemessen, daher sollte Ihre endgültige Antwort auch Zentimeter (oder die in der Problemstellung angegebenen Einheiten) enthalten.
   • In unserem Beispiel ist jede Seite 5 cm lang, daher lautet die endgültige Antwort P = 15 cm.

2 Für zwei gegebene Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks

1. 1 Erinnern Sie sich an den Satz des Pythagoras. Dieser Satz beschreibt die Beziehung zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks und ist einer der bekanntesten und am häufigsten verwendeten Sätze der Mathematik. Der Satz besagt, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck die Seiten durch die folgende Beziehung zusammenhängen: a 2 + b 2 = c 2, wobei a, b die Schenkel und c die Hypotenuse sind.
2. 2 Zeichnen Sie ein Dreieck und beschriften Sie die Seiten mit a, b, c. Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hypotenuse. Es liegt einem rechten Winkel gegenüber. Beschriften Sie die Hypotenuse mit „c“. Beschriften Sie die Beine (Seiten neben dem rechten Winkel) mit „a“ und „b“.
3. 3 Ersetzen Sie die Werte der bekannten Seiten in den Satz des Pythagoras (a 2 + b 2 = c 2). Ersetzen Sie anstelle von Buchstaben die in der Problemstellung angegebenen Zahlen.
   • Zum Beispiel a = 3 und b = 4. Setzen Sie diese Werte in den Satz des Pythagoras ein: 3 2 + 4 2 = c 2.
   • Ein weiteres Beispiel: a = 6 und c = 10. Dann: 6 2 + b 2 = 10 2
4. 4 Lösen Sie die resultierende Gleichung, um die unbekannte Seite zu finden. Dazu quadrieren Sie zunächst die bekannten Längen der Seiten (multiplizieren Sie dazu einfach die Ihnen vorgegebene Zahl mit sich selbst). Wenn Sie nach der Hypotenuse suchen, addieren Sie die Quadrate der beiden Seiten und ziehen Sie die Quadratwurzel aus der resultierenden Summe. Wenn Sie nach einem Bein suchen, subtrahieren Sie das Quadrat des bekannten Beins vom Quadrat der Hypotenuse und ziehen Sie die Quadratwurzel aus dem resultierenden Quotienten.
   • Im ersten Beispiel: 3 2 + 4 2 = c 2 ; 9 + 16 = c 2 ; 25= c 2 ; √25 = s. Also c = 25.
   • Im zweiten Beispiel: 6 2 + b 2 = 10 2 ; 36 + b 2 = 100. Verschieben Sie 36 auf die rechte Seite der Gleichung und erhalten Sie: b 2 = 64; b = √64. Also b = 8.
5. 5
   • In unserem ersten Beispiel: P = 3 + 4 + 5 = 12.
   • In unserem zweiten Beispiel: P = 6 + 8 + 10 = 24.

3 Gemäß zwei gegebenen Seiten und dem Winkel zwischen ihnen

1. 1 Jede Seite eines Dreiecks kann mit dem Kosinussatz ermittelt werden, wenn man zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen kennt. Dieser Satz gilt für jedes Dreieck und ist eine sehr nützliche Formel. Kosinussatz: c 2 = a 2 + b 2 - 2abcos(C), wobei a, b, c die Seiten des Dreiecks sind, A, B, C die Winkel gegenüber den entsprechenden Seiten des Dreiecks.
2. 2 Zeichnen Sie ein Dreieck und beschriften Sie die Seiten mit a, b, c; Beschriften Sie die Winkel gegenüber den entsprechenden Seiten als A, B, C (d. h. den Winkel gegenüber der Seite „a“, beschriften Sie ihn mit „A“ usw.).
   • Nehmen wir zum Beispiel ein Dreieck mit den Seiten 10 und 12 und einem Winkel zwischen ihnen von 97°, also a = 10, b = 12, C = 97°.
3. 3 Setzen Sie die Ihnen angegebenen Werte in die Formel ein und finden Sie die unbekannte Seite „c“. Quadrieren Sie zunächst die Längen der bekannten Seiten und addieren Sie die resultierenden Werte. Ermitteln Sie dann den Kosinus des Winkels C (mit einem Taschenrechner oder Online-Rechner). Multiplizieren Sie die Längen der bekannten Seiten mit dem Kosinus des angegebenen Winkels und mit 2 (2abcos(C)). Subtrahieren Sie den resultierenden Wert von der Summe der Quadrate der beiden Seiten (a 2 + b 2), und Sie erhalten c 2. Ziehen Sie die Quadratwurzel aus diesem Wert, um die Länge der unbekannten Seite „c“ zu ermitteln. In unserem Beispiel:
   • c 2 = 10 2 + 12 2 - 2 × 10 × 12 × cos(97)
   • c 2 = 100 + 144 – (240 × -0,12187)
   • c 2 = 244 – (-29,25)
   • c 2 = 244 + 29,25
   • c 2 = 273,25
   • c = 16,53
4. 4 Addieren Sie die Längen der drei Seiten, um den Umfang zu ermitteln. Denken Sie daran, dass der Umfang nach der Formel berechnet wird: P = a + b + c.
   • In unserem Beispiel: P = 10 + 12 + 16,53 = 38,53.

Umfang eines Dreiecks, wie bei jeder Figur, wird die Summe der Längen aller Seiten genannt. Sehr oft hilft dieser Wert, die Fläche zu finden oder wird zur Berechnung anderer Parameter der Figur verwendet.
Die Formel für den Umfang eines Dreiecks sieht folgendermaßen aus:

Ein Beispiel für die Berechnung des Umfangs eines Dreiecks. Gegeben sei ein Dreieck mit den Seiten a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm. Setze die Daten in die Formel ein: cm

Formel zur Berechnung des Umfangs gleichschenkligen Dreiecks wird so aussehen:

Formel zur Berechnung des Umfangs gleichseitiges Dreieck:

Ein Beispiel für die Berechnung des Umfangs eines gleichseitigen Dreiecks. Wenn alle Seiten einer Figur gleich sind, können sie einfach mit drei multipliziert werden. Angenommen, wir erhalten ein regelmäßiges Dreieck mit einer Seitenlänge von 5 cm, in diesem Fall: cm

Wenn alle Seiten angegeben sind, ist es im Allgemeinen recht einfach, den Umfang zu ermitteln. In anderen Situationen müssen Sie die Größe der fehlenden Seite ermitteln. In einem rechtwinkligen Dreieck finden Sie die dritte Seite Satz des Pythagoras. Wenn beispielsweise die Länge der Beine bekannt ist, können Sie die Hypotenuse mithilfe der Formel ermitteln:

Betrachten wir ein Beispiel für die Berechnung des Umfangs eines gleichschenkligen Dreiecks, vorausgesetzt, wir kennen die Länge der Schenkel in einem rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieck.
Gegeben sei ein Dreieck mit den Beinen a =b =5 cm. Finden Sie den Umfang. Suchen wir zunächst die fehlende Seite c. cm
Berechnen wir nun den Umfang: cm
Der Umfang eines rechtwinkligen gleichschenkligen Dreiecks beträgt 17 cm.

Wenn die Hypotenuse und die Länge eines Beins bekannt sind, können Sie die fehlende Hypotenuse mit der Formel finden:
Wenn in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse und einer der spitzen Winkel bekannt sind, dann wird die fehlende Seite mit der Formel ermittelt.

Sie können den Umfang eines Dreiecks nicht nur durch Summieren der Längen seiner Seiten ermitteln. Was sollten Sie beispielsweise tun, wenn Ihnen eine Seite und die Winkel eines Dreiecks oder beispielsweise zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen gegeben werden?“

1. Falls alle drei Seiten bekannt sind.

Der Umfang eines beliebigen Dreiecks ist a+b+c.

Wenn ein gleichseitiges (regelmäßiges) Dreieck gegeben ist, dann ist P=3a, also die Länge der Seite multipliziert mit drei.

Wenn ein gleichschenkliges Dreieck gegeben ist, dann ist P=2a+c, wobei a die Seite und c die Basis ist.

2. Gegeben sind zwei Seiten und der Wert des Winkels zwischen ihnen.

Aus dem Kosinussatz können Sie zunächst die dritte Seite ermitteln, die dem Winkel „Beta“ gegenüberliegt. Diese Seite (nennen wir sie Seite c) ist gleich der Quadratwurzel des Ausdrucks a 2 + b 2 -2∙a∙b∙cosbeta;.

Daher ist der Umfang gleich „a+b+radikal;(a 2 +b 2 -2∙a∙b∙cosbeta;).

3. Wenn eine Seite und zwei benachbarte Winkel bekannt sind.

Um den Umfang des Dreiecks zu ermitteln, muss in diesem Fall der Sinussatz berücksichtigt werden.

Dann sieht die Formel zur Berechnung des Umfangs wie folgt aus: a+sinalpha;∙а/(sin(180deg;-alpha;-beta;)) + sinbeta;∙а/(sin(180deg;-alpha;-beta;)).

4. Wenn die Fläche des Dreiecks und der Radius des in das Dreieck eingeschriebenen Kreises bekannt sind.

Der Umfang des Dreiecks kann dann durch das Verhältnis der doppelten Fläche zum Radius des eingeschriebenen Kreises ermittelt werden: „P=2S/r“.

Sonderfälle

(Umfang ausgedrückt als Radius eingeschriebener und umschriebener Kreise).

1. Für ein regelmäßiges Dreieck P=3Rradic;3=6rradic;3.

2. Für ein gleichschenkliges Dreieck P=2R(2sinalpha;+sinbeta;).