Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Brüchen. Brüche mit ganzen Zahlen und unterschiedlichen Nennern addieren. Algebraische Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen

Die folgenden Regeln gelten für echte und unechte Brüche (ein gemischter Bruch kann immer in einen unechten Bruch umgewandelt werden) mit demselben Nenner.

Regel. Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie ihre Zähler addieren und denselben Nenner belassen.

Zum Beispiel:

Regel. Um Brüche mit demselben Nenner zu subtrahieren, müssen Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den gleichen Nenner belassen.

Zum Beispiel:

Die folgenden Regeln gelten für gemischte Brüche mit gleichen Nennern.

Regel. Um gemischte Brüche zu addieren, müssen Sie deren ganze und gebrochene Teile getrennt addieren und die Summe der ganzen Teile und die Summe der gebrochenen Teile als gemischten Bruch aufschreiben.

Wenn sich herausstellt, dass der gesamte Bruchteil ein unechter Bruch ist, sollten sie in einen gemischten Bruch umgewandelt werden, und der vom unechten Bruch getrennte ganze Teil sollte zur Summe der ganzen Teile addiert werden. Schreiben Sie die Endsumme der ganzen und gebrochenen Teile als gemischten Bruch.

Zum Beispiel Brüche addieren:

Regel: Um gemischte Brüche zu subtrahieren, müssen Sie ihre ganzen Teile und ihre gebrochenen Teile getrennt subtrahieren und die Summe der resultierenden Differenzen als gemischten Bruch aufschreiben.

Wenn der Bruchteil des Minuenden kleiner ist als der Bruchteil des Subtrahends, dann „leihen“ wir 1 aus dem ganzzahligen Teil des Minuenden, den wir als Bruch mit demselben Nenner wie der Bruchteil gemischter Brüche darstellen, und mit einem Zähler gleich diesem Nenner. Die geliehene 1, ausgedrückt als unechter Bruch mit demselben Zähler und Nenner, wird mit dem Bruchteil des Minuenden summiert. Anschließend führen wir Berechnungen nach der Regel zur Subtraktion gemischter Brüche durch.

Betrachten Sie den Bruch $\frac63$. Sein Wert ist 2, da $\frac63 =6:3 = 2$. Was passiert, wenn Zähler und Nenner mit 2 multipliziert werden? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Offensichtlich hat sich der Wert des Bruchs nicht geändert, daher ist $\frac(12)(6)$, da y auch gleich 2 ist. Das können Sie Zähler und Nenner multiplizieren durch 3 und erhalte $\frac(18)(9)$, oder durch 27 und erhalte $\frac(162)(81)$, oder durch 101 und erhalte $\frac(606)(303)$. In jedem dieser Fälle beträgt der Wert des Bruchs, den wir durch Division des Zählers durch den Nenner erhalten, 2. Das bedeutet, dass er sich nicht geändert hat.

Das gleiche Muster lässt sich auch bei anderen Fraktionen beobachten. Wenn Zähler und Nenner des Bruchs $\frac(120)(60)$ (gleich 2) durch 2 (das Ergebnis ist $\frac(60)(30)$) oder durch 3 (das Ergebnis ist) geteilt werden $\frac(40)(20) $) oder durch 4 (Ergebnis $\frac(30)(15)$) usw., dann bleibt in jedem Fall der Wert des Bruchs unverändert und gleich 2.

Diese Regel gilt auch für ungleiche Brüche ganze Zahl.

Wenn Zähler und Nenner des Bruchs $\frac(1)(3)$ mit 2 multipliziert werden, erhalten wir $\frac(2)(6)$, d. h. der Wert des Bruchs hat sich nicht geändert. Und tatsächlich: Wenn Sie den Kuchen in 3 Teile teilen und einen davon nehmen, oder ihn in 6 Teile teilen und 2 Teile nehmen, erhalten Sie in beiden Fällen die gleiche Menge Kuchen. Daher sind die Zahlen $\frac(1)(3)$ und $\frac(2)(6)$ identisch. Lassen Sie uns eine allgemeine Regel formulieren.

Zähler und Nenner eines beliebigen Bruchs können mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden, ohne dass sich der Wert des Bruchs ändert.

Diese Regel erweist sich als sehr nützlich. Beispielsweise ist es in einigen Fällen, aber nicht immer, möglich, Operationen mit großen Zahlen zu vermeiden.

Zum Beispiel können wir Zähler und Nenner des Bruchs $\frac(126)(189)$ durch 63 dividieren und erhalten den Bruch $\frac(2)(3)$, mit dem sich die Berechnung viel einfacher gestalten lässt. Noch ein Beispiel. Wir können Zähler und Nenner des Bruchs $\frac(155)(31)$ durch 31 dividieren und erhalten den Bruch $\frac(5)(1)$ oder 5, da 5:1=5.

In diesem Beispiel sind wir zum ersten Mal darauf gestoßen ein Bruch, dessen Nenner 1 ist. Solche Brüche spielen bei Berechnungen eine wichtige Rolle. Es ist zu beachten, dass jede Zahl durch 1 geteilt werden kann und sich ihr Wert nicht ändert. Das heißt, $\frac(273)(1)$ ist gleich 273; $\frac(509993)(1)$ entspricht 509993 und so weiter. Daher müssen wir Zahlen nicht durch dividieren, da jede ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner 1 dargestellt werden kann.

Mit solchen Brüchen, deren Nenner 1 ist, kann man die gleichen Rechenoperationen durchführen wie mit allen anderen Brüchen: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1 ) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

Sie fragen sich vielleicht, was es nützt, wenn wir eine ganze Zahl als Bruch mit einer Einheit unter dem Strich darstellen, da es bequemer ist, mit einer ganzen Zahl zu arbeiten. Tatsache ist jedoch, dass die Darstellung einer ganzen Zahl als Bruch uns die Möglichkeit gibt, verschiedene Operationen effizienter durchzuführen, wenn wir gleichzeitig mit ganzen Zahlen und Brüchen arbeiten. Zum Beispiel zum Lernen Addiere Brüche mit unterschiedlichen Nennern. Angenommen, wir müssen $\frac(1)(3)$ und $\frac(1)(5)$ addieren.

Wir wissen, dass wir nur Brüche addieren können, deren Nenner gleich sind. Das bedeutet, dass wir lernen müssen, Brüche auf eine Form zu reduzieren, bei der ihre Nenner gleich sind. In diesem Fall benötigen wir erneut die Tatsache, dass wir Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl multiplizieren können, ohne seinen Wert zu ändern.

Multiplizieren Sie zunächst Zähler und Nenner des Bruchs $\frac(1)(3)$ mit 5. Wir erhalten $\frac(5)(15)$, der Wert des Bruchs hat sich nicht geändert. Dann multiplizieren wir Zähler und Nenner des Bruchs $\frac(1)(5)$ mit 3. Wir erhalten $\frac(3)(15)$, auch hier hat sich der Wert des Bruchs nicht geändert. Daher ist $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Versuchen wir nun, dieses System auf die Addition von Zahlen anzuwenden, die sowohl ganzzahlige als auch gebrochene Teile enthalten.

Wir müssen $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$ addieren. Zuerst wandeln wir alle Terme in Brüche um und erhalten: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Jetzt müssen wir alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, dazu multiplizieren wir Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit 12, des zweiten mit 4 und des dritten mit 3. Als Ergebnis erhalten wir $\frac(36 )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, was gleich $\frac(55)(12)$ ist. Wenn du es loswerden willst unechter Bruch, kann es in eine Zahl umgewandelt werden, die aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ oder $4\frac(7 )( 12)$.

Alle Regeln, die es erlauben Operationen mit Brüchen, die wir gerade untersucht haben, gelten auch für negative Zahlen. So kann -1: 3 als $\frac(-1)(3)$ und 1: (-3) als $\frac(1)(-3)$ geschrieben werden.

Da sowohl die Division einer negativen Zahl durch eine positive Zahl als auch die Division einer positiven Zahl durch eine negative Zahl zu negativen Zahlen führt, ist das Ergebnis in beiden Fällen eine negative Zahl. Also

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ oder $1: (-3) = \frac(1)(-3)$. Das so geschriebene Minuszeichen bezieht sich auf den gesamten Bruch und nicht separat auf den Zähler oder Nenner.

Andererseits kann (-1) : (-3) als $\frac(-1)(-3)$ geschrieben werden, und da die Division einer negativen Zahl durch eine negative Zahl eine positive Zahl ergibt, dann $\frac (-1 )(-3)$ kann als $+\frac(1)(3)$ geschrieben werden.

Die Addition und Subtraktion negativer Brüche erfolgt nach dem gleichen Schema wie die Addition und Subtraktion positiver Brüche. Was ist zum Beispiel $1- 1\frac13$? Stellen wir beide Zahlen als Brüche dar und erhalten wir $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und erhalten wir $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, also $\frac(3)(3)-\ frac(4) (3)$ oder $-\frac(1)(3)$.

Finden Sie Zähler und Nenner. Ein Bruch besteht aus zwei Zahlen: Die Zahl, die über der Linie steht, wird Zähler genannt, und die Zahl, die unter der Linie steht, wird Nenner genannt. Der Nenner gibt die Gesamtzahl der Teile an, in die ein Ganzes zerlegt wird, und der Zähler ist die Anzahl dieser betrachteten Teile.

• Beispielsweise ist im Bruch ½ der Zähler 1 und der Nenner 2.

Bestimmen Sie den Nenner. Wenn zwei oder mehr Brüche einen gemeinsamen Nenner haben, haben diese Brüche unter dem Strich die gleiche Zahl, d. h. in diesem Fall wird ein bestimmtes Ganzes in gleich viele Teile geteilt. Das Addieren von Brüchen mit einem gemeinsamen Nenner ist sehr einfach, da der Nenner des summierten Bruchs derselbe ist wie der der addierten Brüche. Zum Beispiel:

• Die Brüche 3/5 und 2/5 haben einen gemeinsamen Nenner von 5.
• Die Brüche 3/8, 5/8, 17/8 haben einen gemeinsamen Nenner von 8.

In dieser Lektion geht es um das Addieren und Subtrahieren algebraischer Brüche mit unterschiedlichen Nennern. Wir wissen bereits, wie man gemeinsame Brüche mit unterschiedlichen Nennern addiert und subtrahiert. Dazu müssen die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Es stellt sich heraus, dass algebraische Brüche denselben Regeln folgen. Gleichzeitig wissen wir bereits, wie man algebraische Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringt. Das Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern ist eines der wichtigsten und schwierigsten Themen im Kurs der 8. Klasse. Darüber hinaus wird dieses Thema in vielen Themen des Algebra-Kurses auftauchen, den Sie in Zukunft studieren werden. Im Rahmen der Lektion lernen wir die Regeln zum Addieren und Subtrahieren algebraischer Brüche mit unterschiedlichen Nennern kennen und analysieren auch einige typische Beispiele.

Schauen wir uns das einfachste Beispiel für gewöhnliche Brüche an.

Beispiel 1. Brüche hinzufügen: .

Lösung:

Erinnern wir uns an die Regel zum Addieren von Brüchen. Zunächst müssen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Der gemeinsame Nenner für gewöhnliche Brüche ist kleinstes gemeinsames Vielfaches(LCM) der ursprünglichen Nenner.

Definition

Die kleinste natürliche Zahl, die sowohl durch die Zahlen als auch teilbar ist.

Um das LCM zu ermitteln, müssen Sie die Nenner in Primfaktoren zerlegen und dann alle Primfaktoren auswählen, die in der Entwicklung beider Nenner enthalten sind.

; . Dann muss das LCM der Zahlen zwei Zweier und zwei Dreier enthalten: .

Nachdem Sie den gemeinsamen Nenner ermittelt haben, müssen Sie für jeden Bruch einen zusätzlichen Faktor ermitteln (dividieren Sie tatsächlich den gemeinsamen Nenner durch den Nenner des entsprechenden Bruchs).

Jeder Bruch wird dann mit dem resultierenden zusätzlichen Faktor multipliziert. Wir erhalten Brüche mit demselben Nenner, dessen Addition und Subtraktion wir in früheren Lektionen gelernt haben.

Wir bekommen: .

Antwort:.

Betrachten wir nun die Addition algebraischer Brüche mit unterschiedlichen Nennern. Schauen wir uns zunächst Brüche an, deren Nenner Zahlen sind.

Beispiel 2. Brüche hinzufügen: .

Lösung:

Der Lösungsalgorithmus ist dem vorherigen Beispiel absolut ähnlich. Es ist leicht, den gemeinsamen Nenner dieser Brüche und zusätzliche Faktoren für jeden von ihnen zu finden.

.

Antwort:.

Also, lasst uns formulieren Algorithmus zum Addieren und Subtrahieren algebraischer Brüche mit unterschiedlichen Nennern:

1. Finden Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner von Brüchen.

2. Finden Sie zusätzliche Faktoren für jeden der Brüche (indem Sie den gemeinsamen Nenner durch den Nenner des gegebenen Bruchs dividieren).

3. Multiplizieren Sie die Zähler mit den entsprechenden zusätzlichen Faktoren.

4. Addieren oder subtrahieren Sie Brüche unter Verwendung der Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit gleichen Nennern.

Betrachten wir nun ein Beispiel mit Brüchen, deren Nenner Buchstabenausdrücke enthält.

Beispiel 3. Brüche hinzufügen: .

Lösung:

Da die Buchstabenausdrücke in beiden Nennern gleich sind, sollten Sie einen gemeinsamen Nenner für die Zahlen finden. Der letzte gemeinsame Nenner sieht so aus: . Somit sieht die Lösung für dieses Beispiel so aus:

Antwort:.

Beispiel 4. Brüche subtrahieren: .

Lösung:

Wenn Sie bei der Wahl eines gemeinsamen Nenners nicht „schummeln“ können (Sie können ihn nicht faktorisieren oder abgekürzte Multiplikationsformeln verwenden), müssen Sie das Produkt der Nenner beider Brüche als gemeinsamen Nenner nehmen.

Antwort:.

Im Allgemeinen besteht die schwierigste Aufgabe bei der Lösung solcher Beispiele darin, einen gemeinsamen Nenner zu finden.

Schauen wir uns ein komplexeres Beispiel an.

Beispiel 5. Vereinfachen Sie: .

Lösung:

Wenn Sie einen gemeinsamen Nenner finden möchten, müssen Sie zunächst versuchen, die Nenner der ursprünglichen Brüche zu faktorisieren (um den gemeinsamen Nenner zu vereinfachen).

In diesem speziellen Fall:

Dann ist es einfach, den gemeinsamen Nenner zu bestimmen: .

Wir ermitteln weitere Faktoren und lösen dieses Beispiel:

Antwort:.

Lassen Sie uns nun die Regeln für das Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern festlegen.

Beispiel 6. Vereinfachen Sie: .

Lösung:

Antwort:.

Beispiel 7. Vereinfachen Sie: .

Lösung:

.

Antwort:.

Betrachten wir nun ein Beispiel, bei dem nicht zwei, sondern drei Brüche addiert werden (schließlich bleiben die Additions- und Subtraktionsregeln für eine größere Anzahl von Brüchen gleich).

Beispiel 8. Vereinfachen Sie: .

Eine der wichtigsten Wissenschaften, deren Anwendung in Disziplinen wie Chemie, Physik und sogar Biologie zu sehen ist, ist die Mathematik. Das Studium dieser Wissenschaft ermöglicht es Ihnen, einige geistige Qualitäten zu entwickeln und Ihre Konzentrationsfähigkeit zu verbessern. Eines der Themen, die im Mathematikkurs besondere Aufmerksamkeit verdienen, ist das Addieren und Subtrahieren von Brüchen. Vielen Studierenden fällt das Lernen schwer. Vielleicht hilft Ihnen unser Artikel, dieses Thema besser zu verstehen.

So subtrahieren Sie Brüche, deren Nenner gleich sind

Brüche sind gleiche Zahlen, mit denen Sie verschiedene Operationen ausführen können. Ihr Unterschied zu ganzen Zahlen liegt im Vorhandensein eines Nenners. Aus diesem Grund müssen Sie bei der Durchführung von Operationen mit Brüchen einige ihrer Funktionen und Regeln studieren. Der einfachste Fall ist die Subtraktion gewöhnlicher Brüche, deren Nenner als dieselbe Zahl dargestellt werden. Die Durchführung dieser Aktion wird nicht schwierig sein, wenn Sie eine einfache Regel kennen:

• Um eine Sekunde von einem Bruch zu subtrahieren, ist es notwendig, den Zähler des subtrahierten Bruchs vom Zähler des zu reduzierenden Bruchs zu subtrahieren. Wir schreiben diese Zahl in den Zähler der Differenz und lassen den Nenner gleich: k/m - b/m = (k-b)/m.

Beispiele für die Subtraktion von Brüchen, deren Nenner gleich sind

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Vom Zähler des Bruchs „7“ subtrahieren wir den Zähler des zu subtrahierenden Bruchs „3“, wir erhalten „4“. Wir schreiben diese Zahl in den Zähler der Antwort und geben in den Nenner dieselbe Zahl ein, die im Nenner des ersten und zweiten Bruchs stand – „19“.

Das Bild unten zeigt mehrere weitere ähnliche Beispiele.

Betrachten wir ein komplexeres Beispiel, bei dem Brüche mit gleichen Nennern subtrahiert werden:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Vom Zähler des Bruchs wird „29“ reduziert, indem nacheinander die Zähler aller nachfolgenden Brüche subtrahiert werden – „3“, „8“, „2“, „7“. Als Ergebnis erhalten wir das Ergebnis „9“, das wir in den Zähler der Antwort schreiben, und in den Nenner schreiben wir die Zahl, die im Nenner aller dieser Brüche steht – „47“.

Brüche addieren, die den gleichen Nenner haben

Das Addieren und Subtrahieren gewöhnlicher Brüche erfolgt nach dem gleichen Prinzip.

• Um Brüche zu addieren, deren Nenner gleich sind, müssen Sie die Zähler addieren. Die resultierende Zahl ist der Zähler der Summe und der Nenner bleibt derselbe: k/m + b/m = (k + b)/m.

Sehen wir uns anhand eines Beispiels an, wie das aussieht:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Fügen Sie zum Zähler des ersten Termes des Bruchs – „1“ – den Zähler des zweiten Termes des Bruchs – „2“ hinzu. Das Ergebnis – „3“ – wird in den Zähler der Summe geschrieben und der Nenner bleibt derselbe wie der in den Brüchen vorhandene – „4“.

Brüche mit unterschiedlichen Nennern und ihre Subtraktion

Die Operation mit Brüchen mit gleichem Nenner haben wir bereits betrachtet. Wie Sie sehen, ist das Lösen solcher Beispiele recht einfach, wenn man einfache Regeln kennt. Was aber, wenn Sie eine Operation mit Brüchen durchführen müssen, die unterschiedliche Nenner haben? Viele Gymnasiasten sind durch solche Beispiele verwirrt. Aber auch hier werden Ihnen die Beispiele nicht mehr schwerfallen, wenn Sie das Lösungsprinzip kennen. Auch hier gibt es eine Regel, ohne die das Lösen solcher Brüche einfach unmöglich ist.

Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu subtrahieren, müssen sie auf den gleichen kleinsten Nenner reduziert werden.



Wir werden ausführlicher darüber sprechen, wie das geht.

Eigenschaft eines Bruchs

Um mehrere Brüche auf den gleichen Nenner zu bringen, müssen Sie die Haupteigenschaft eines Bruchs in der Lösung nutzen: Nachdem Sie Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert oder multipliziert haben, erhalten Sie einen Bruch, der dem angegebenen entspricht.

So kann beispielsweise der Bruch 2/3 Nenner wie „6“, „9“, „12“ usw. haben, also die Form einer beliebigen Zahl haben, die ein Vielfaches von „3“ ist. Nachdem wir Zähler und Nenner mit „2“ multipliziert haben, erhalten wir den Bruch 4/6. Nachdem wir Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruchs mit „3“ multipliziert haben, erhalten wir 6/9, und wenn wir eine ähnliche Operation mit der Zahl „4“ durchführen, erhalten wir 8/12. Eine Gleichheit kann wie folgt geschrieben werden:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

So wandeln Sie mehrere Brüche in denselben Nenner um

Schauen wir uns an, wie man mehrere Brüche auf denselben Nenner reduziert. Nehmen wir zum Beispiel die im Bild unten gezeigten Brüche. Zuerst müssen Sie bestimmen, welche Zahl der Nenner für alle werden kann. Zur Vereinfachung faktorisieren wir die vorhandenen Nenner.

Der Nenner des Bruchs 1/2 und des Bruchs 2/3 kann nicht faktorisiert werden. Der Nenner 7/9 hat zwei Faktoren 7/9 = 7/(3 x 3), der Nenner des Bruchs 5/6 = 5/(2 x 3). Jetzt müssen wir bestimmen, welche Faktoren für alle diese vier Brüche am kleinsten sind. Da der erste Bruch die Zahl „2“ im Nenner hat, bedeutet dies, dass er in allen Nennern vorhanden sein muss. Im Bruch 7/9 gibt es zwei Drillinge, was bedeutet, dass beide auch im Nenner vorhanden sein müssen. Unter Berücksichtigung des oben Gesagten stellen wir fest, dass der Nenner aus drei Faktoren besteht: 3, 2, 3 und gleich 3 x 2 x 3 = 18 ist.



Betrachten wir den ersten Bruch – 1/2. Der Nenner enthält eine „2“, aber keine einzige „3“-Ziffer, sondern es sollten zwei sein. Dazu multiplizieren wir den Nenner mit zwei Tripeln, aber entsprechend der Eigenschaft eines Bruchs müssen wir den Zähler mit zwei Tripeln multiplizieren:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Wir führen die gleichen Operationen mit den verbleibenden Brüchen durch.

• 2/3 - eins drei und eins zwei fehlen im Nenner:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 oder 7/(3 x 3) – im Nenner fehlt eine Zwei:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 oder 5/(2 x 3) – im Nenner fehlt eine Drei:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Alles in allem sieht es so aus:



So subtrahieren und addieren Sie Brüche mit unterschiedlichen Nennern

Wie oben erwähnt, müssen Brüche mit unterschiedlichen Nennern zum Addieren oder Subtrahieren auf denselben Nenner reduziert werden und anschließend die bereits besprochenen Regeln zum Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner angewendet werden.

Schauen wir uns das als Beispiel an: 18.04. - 15.03.

Ermitteln des Vielfachen der Zahlen 18 und 15:

• Die Zahl 18 besteht aus 3 x 2 x 3.
• Die Zahl 15 besteht aus 5 x 3.
• Das gemeinsame Vielfache beträgt die folgenden Faktoren: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Nachdem der Nenner gefunden wurde, muss der Faktor berechnet werden, der für jeden Bruch unterschiedlich ist, dh die Zahl, mit der nicht nur der Nenner, sondern auch der Zähler multipliziert werden muss. Dazu teilen wir die gefundene Zahl (das gemeinsame Vielfache) durch den Nenner des Bruchs, für den wir zusätzliche Faktoren bestimmen müssen.

• 90 geteilt durch 15. Die resultierende Zahl „6“ ist ein Multiplikator für 3/15.
• 90 geteilt durch 18. Die resultierende Zahl „5“ ist ein Multiplikator für 4/18.

Der nächste Schritt unserer Lösung besteht darin, jeden Bruch auf den Nenner „90“ zu reduzieren.

Wir haben bereits darüber gesprochen, wie das geht. Sehen wir uns an einem Beispiel an, wie das geschrieben wird:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Wenn die Brüche kleine Zahlen haben, können Sie den gemeinsamen Nenner bestimmen, wie im Beispiel im Bild unten.



Das Gleiche gilt für diejenigen mit unterschiedlichen Nennern.

Subtraktion und ganzzahlige Teile

Die Subtraktion von Brüchen und deren Addition haben wir bereits ausführlich besprochen. Aber wie subtrahiert man, wenn ein Bruch einen ganzzahligen Teil hat? Lassen Sie uns noch einmal ein paar Regeln anwenden:

• Wandeln Sie alle Brüche, die einen ganzzahligen Teil haben, in unechte Brüche um. Mit einfachen Worten: Entfernen Sie ein ganzes Teil. Multiplizieren Sie dazu die Zahl des ganzzahligen Teils mit dem Nenner des Bruchs und addieren Sie das resultierende Produkt zum Zähler. Die Zahl, die nach diesen Aktionen herauskommt, ist der Zähler des unechten Bruchs. Der Nenner bleibt unverändert.
• Wenn Brüche unterschiedliche Nenner haben, sollten sie auf den gleichen Nenner reduziert werden.
• Führen Sie eine Addition oder Subtraktion mit denselben Nennern durch.
• Wenn Sie einen unechten Bruch erhalten, wählen Sie den ganzen Teil aus.



Es gibt eine andere Möglichkeit, Brüche mit ganzen Teilen zu addieren und zu subtrahieren. Dazu werden Aktionen getrennt mit ganzen Teilen und Aktionen mit Brüchen getrennt ausgeführt und die Ergebnisse gemeinsam erfasst.



Das angegebene Beispiel besteht aus Brüchen, die den gleichen Nenner haben. Wenn die Nenner unterschiedlich sind, müssen sie auf den gleichen Wert gebracht und dann die im Beispiel gezeigten Aktionen ausgeführt werden.

Brüche von ganzen Zahlen subtrahieren

Eine andere Art der Operation mit Brüchen ist der Fall, wenn ein Bruch subtrahiert werden muss. Auf den ersten Blick scheint ein solches Beispiel schwer zu lösen. Allerdings ist hier alles ganz einfach. Um es zu lösen, müssen Sie die ganze Zahl in einen Bruch umwandeln, und zwar mit demselben Nenner wie im subtrahierten Bruch. Als nächstes führen wir eine Subtraktion ähnlich der Subtraktion mit identischen Nennern durch. In einem Beispiel sieht es so aus:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Die in diesem Artikel vorgestellte Subtraktion von Brüchen (Klasse 6) ist die Grundlage für die Lösung komplexerer Beispiele, die in den folgenden Klassen behandelt werden. Das Wissen zu diesem Thema wird anschließend zur Lösung von Funktionen, Ableitungen usw. verwendet. Daher ist es sehr wichtig, die oben besprochenen Operationen mit Brüchen zu verstehen und zu verstehen.