Wielokąt nie może mieć. Wielokąty i ich właściwości. Wyznaczanie obwodu trójkąta równobocznego i prostokątnego

W tej lekcji rozpoczniemy nowy temat i wprowadzimy dla nas nowe pojęcie: „wielokąt”. Przyjrzymy się podstawowym pojęciom związanym z wielokątami: bokom, kątom wierzchołkowym, wypukłości i niewypukłości. Następnie udowodnimy najważniejsze fakty, takie jak twierdzenie o sumie kątów wewnętrznych wielokąta, twierdzenie o sumie kątów zewnętrznych wielokąta. W rezultacie zbliżymy się do studiowania specjalnych przypadków wielokątów, które zostaną rozważone w dalszych lekcjach.

Temat: Czworokąty

Lekcja: Wielokąty

Na kursie geometrii badamy właściwości figur geometrycznych i badaliśmy już najprostsze z nich: trójkąty i koła. Jednocześnie omówiliśmy także szczególne przypadki specjalne tych figur, takie jak trójkąty prostokątne, równoramienne i regularne. Teraz czas porozmawiać o liczbach bardziej ogólnych i złożonych - wielokąty.

Ze specjalnym etui wielokąty znamy już - to jest trójkąt (patrz ryc. 1).

Ryż. 1. Trójkąt

Już sama nazwa podkreśla, że ​​jest to figura z trzema kątami. Dlatego w wielokąt może być ich wiele, tj. więcej niż trzy. Narysujmy dla przykładu pięciokąt (patrz ryc. 2), tj. figura z pięcioma narożnikami.

Ryż. 2. Pentagon. Wielokąt wypukły

Definicja.Wielokąt- figura składająca się z kilku punktów (więcej niż dwóch) i odpowiedniej liczby odcinków, które je kolejno łączą. Punkty te nazywane są szczyty wielokąt i segmenty są imprezy. W tym przypadku żadne dwa sąsiednie boki nie leżą na tej samej linii prostej i żadne dwa niesąsiadujące boki nie przecinają się.

Definicja.Regularny wielokąt jest wypukłym wielokątem, w którym wszystkie boki i kąty są równe.

Każdy wielokąt dzieli płaszczyznę na dwie części: wewnętrzną i zewnętrzną. Obszar wewnętrzny jest również nazywany wielokąt.

Innymi słowy, gdy mówią na przykład o pięciokącie, mają na myśli zarówno cały jego obszar wewnętrzny, jak i jego granicę. A obszar wewnętrzny obejmuje wszystkie punkty leżące wewnątrz wielokąta, tj. punkt odnosi się również do pięciokąta (patrz ryc. 2).

Wielokąty są czasami nazywane n-gonami, aby podkreślić, że rozważany jest ogólny przypadek obecności pewnej nieznanej liczby kątów (n części).

Definicja. Obwód wielokąta- suma długości boków wielokąta.

Teraz musimy zapoznać się z rodzajami wielokątów. Dzielą się na wypukły I nie wypukły. Na przykład wielokąt pokazany na ryc. 2 jest wypukły, a na ryc. 3 niewypukłe.

Ryż. 3. Wielokąt niewypukły

Definicja 1. Wielokąt zwany wypukły, jeśli rysując linię prostą przez którykolwiek z jej boków, całość wielokąt leży tylko po jednej stronie tej prostej. Nie wypukły są wszyscy inni wielokąty.

Łatwo sobie wyobrazić, że rozciągając dowolny bok pięciokąta na ryc. 2 to wszystko będzie po jednej stronie tej prostej, tj. jest wypukły. Ale rysując linię prostą przez czworokąt na ryc. 3 widzimy już, że dzieli go na dwie części, tj. nie jest wypukły.

Ale istnieje inna definicja wypukłości wielokąta.

Definicja 2. Wielokąt zwany wypukły, jeśli wybierając dowolne dwa jego punkty wewnętrzne i łącząc je odcinkiem, wszystkie punkty odcinka są jednocześnie punktami wewnętrznymi wielokąta.

Demonstrację zastosowania tej definicji można zobaczyć na przykładzie konstruowania odcinków na rys. 2 i 3.

Definicja. Przekątna wielokąta jest dowolnym odcinkiem łączącym dwa niesąsiadujące ze sobą wierzchołki.

Aby opisać właściwości wielokątów, istnieją dwa najważniejsze twierdzenia dotyczące ich kątów: twierdzenie o sumie kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego I twierdzenie o sumie kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego. Przyjrzyjmy się im.

Twierdzenie. O sumie kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego (N-gon).

Gdzie jest liczba jego kątów (boków).

Dowód 1. Przedstawmy na ryc. 4 wypukły n-gon.

Ryż. 4. Wypukły n-gon

Z wierzchołka rysujemy wszystkie możliwe przekątne. Dzielą n-gon na trójkąty, ponieważ każdy z boków wielokąta tworzy trójkąt, z wyjątkiem boków przylegających do wierzchołka. Z rysunku łatwo zobaczyć, że suma kątów wszystkich tych trójkątów będzie dokładnie równa sumie kątów wewnętrznych n-gonu. Ponieważ suma kątów dowolnego trójkąta wynosi , to suma kątów wewnętrznych n-gon:

co było do okazania

Dowód 2. Możliwy jest inny dowód tego twierdzenia. Narysujmy podobny n-gon na ryc. 5 i połącz dowolny jej punkt wewnętrzny ze wszystkimi wierzchołkami.

Ryż. 5.

Otrzymaliśmy podział n-gonu na n trójkątów (tyle boków, ile jest trójkątów). Suma wszystkich ich kątów jest równa sumie kątów wewnętrznych wielokąta i sumie kątów w punkcie wewnętrznym i jest to kąt. Mamy:

co było do okazania

Udowodniony.

Zgodnie ze sprawdzonym twierdzeniem jasne jest, że suma kątów n-gonu zależy od liczby jego boków (na n). Na przykład w trójkącie suma kątów wynosi . W czworokącie suma kątów wynosi itp.

Twierdzenie. O sumie kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego (N-gon).

Gdzie jest liczba jego kątów (boków), a , … to kąty zewnętrzne.

Dowód. Przedstawmy wypukły n-gon na ryc. 6 i wyznacz jego kąty wewnętrzne i zewnętrzne.

Ryż. 6. N-kąt wypukły z wyznaczonymi kątami zewnętrznymi

Ponieważ Narożnik zewnętrzny łączy się wówczas z narożnikiem wewnętrznym jako sąsiadujący i analogicznie dla pozostałych narożników zewnętrznych. Następnie:

Podczas transformacji wykorzystaliśmy sprawdzone już twierdzenie o sumie kątów wewnętrznych n-kąta.

Udowodniony.

Ciekawostka wynika ze sprawdzonego twierdzenia, że ​​suma kątów zewnętrznych wypukłego n-gonu jest równa na liczbę jego kątów (boków). Nawiasem mówiąc, w przeciwieństwie do sumy kątów wewnętrznych.

Bibliografia

1. Aleksandrow A.D. i inne Geometria, klasa 8. - M.: Edukacja, 2006.
2. Butuzow V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria, klasa 8. - M.: Edukacja, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometria, klasa 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Praca domowa

Wielokąt to figura geometryczna ograniczona ze wszystkich stron zamkniętą linią przerywaną. W takim przypadku liczba ogniw linii przerywanej nie powinna być mniejsza niż trzy. Każda para segmentów polilinii ma wspólny punkt i tworzy kąty. Liczba kątów wraz z liczbą segmentów polilinii to główne cechy wielokąta. W każdym wielokącie liczba połączeń w ograniczającym wielokącie zamkniętym pokrywa się z liczbą kątów.

W geometrii boki nazywane są zwykle ogniwami linii łamanej ograniczającej obiekt geometryczny. Wierzchołki to punkty styku dwóch sąsiednich boków., od liczby których wielokąty otrzymują swoje nazwy.

Jeśli zamknięta linia przerywana składa się z trzech odcinków, nazywa się ją trójkątem; odpowiednio z czterech segmentów - czworokąt, z pięciu - pięciokąt itp.

Aby oznaczyć trójkąt lub czworokąt, do oznaczenia jego wierzchołków używa się wielkich liter łacińskich. Litery są nazywane w kolejności - zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Podstawowe koncepcje

Opisując definicję wielokąta, należy wziąć pod uwagę kilka powiązanych pojęć geometrycznych:

1. Jeśli wierzchołki są końcami jednego boku, nazywa się je sąsiadującymi.
2. Jeśli odcinek łączy niesąsiadujące ze sobą wierzchołki, nazywa się go przekątną. Trójkąt nie może mieć przekątnych.
3. Kąt wewnętrzny to kąt powstały w jednym z wierzchołków, utworzony przez jego dwa boki zbiegające się w tym punkcie. Znajduje się zawsze w wewnętrznym obszarze figury geometrycznej. Jeśli wielokąt nie jest wypukły, jego rozmiar może przekroczyć 180 stopni.
4. Kąt zewnętrzny w pewnym wierzchołku jest kątem sąsiadującym z kątem wewnętrznym. Innymi słowy, za kąt zewnętrzny można uznać różnicę między 180° a wartością kąta wewnętrznego.
5. Suma wartości wszystkich segmentów nazywana jest obwodem.
6. Jeśli wszystkie boki i wszystkie kąty są równe, nazywa się to poprawnym. Tylko wypukłe mogą być poprawne.

Jak wspomniano powyżej, nazwy wielokątnych geometrycznych opierają się na liczbie wierzchołków. Jeśli figura ma n liczb, nazywa się ją n-gon:

1. Wielokąt nazywa się planarnym, jeśli ogranicza skończoną część płaszczyzny. Tę figurę geometryczną można wpisać w okrąg lub opisać na nim okrąg.
2. N-gon nazywa się wypukłym, jeśli spełnia jeden z podanych poniżej warunków.
3. Figura znajduje się po jednej stronie linii prostej łączącej dwa sąsiednie wierzchołki.
4. Figura ta służy jako część wspólna lub przecięcie kilku półpłaszczyzn.
5. Przekątne znajdują się wewnątrz wielokąta.
6. Jeśli końce odcinka znajdują się w punktach należących do wielokąta, cały odcinek należy do niego.
7. Figurę można nazwać regularną, jeśli wszystkie jej segmenty i wszystkie kąty są równe. Przykładami są kwadrat, trójkąt równoboczny lub pięciokąt foremny.
8. Jeśli n-gon nie jest wypukły, wszystkie jego boki i kąty są równe, a jego wierzchołki pokrywają się z wierzchołkami zwykłego n-gonu, nazywa się go gwiaździstym. Takie figury mogą mieć samoprzecięcia. Przykładami może być pentagram lub heksagram.
9. Mówi się, że trójkąt lub czworokąt jest wpisany w okrąg, gdy wszystkie jego wierzchołki znajdują się wewnątrz jednego okręgu. Jeżeli boki tej figury mają punkty styku z okręgiem, jest to wielokąt opisany na pewnym okręgu.

Każdy wypukły n-gon można podzielić na trójkąty. W tym przypadku liczba trójkątów jest mniejsza niż liczba boków o 2.

Rodzaje figur

Jest to wielokąt mający trzy wierzchołki i trzy łączące je odcinki. W tym przypadku punkty łączące segmenty nie leżą na tej samej linii prostej.

Punkty połączenia segmentów to wierzchołki trójkąta. Same segmenty nazywane są bokami trójkąta. Całkowita suma kątów wewnętrznych każdego trójkąta wynosi 180°.

Zgodnie z relacjami między bokami wszystkie trójkąty można podzielić na kilka typów:

1. Równoboczny- w którym długość wszystkich odcinków jest taka sama.
2. Równoramienny- trójkąty, w których dwa z trzech odcinków są równe.
3. Wszechstronny- jeśli długość wszystkich odcinków jest inna.

Ponadto zwyczajowo rozróżnia się następujące trójkąty:

1. Ostry kątowy.
2. Prostokątny.
3. Rozwarty.

Czworobok

Czworokąt to płaska figura, która ma 4 wierzchołki i 4 odcinki łączące je szeregowo.

1. Jeśli wszystkie kąty czworokąta są kątami prostymi, figurę tę nazywamy prostokątem.
2. Prostokąt, którego wszystkie boki są tej samej wielkości, nazywa się kwadratem.
3. Czworokąt, którego wszystkie boki są równe, nazywa się rombem.

Na jednej prostej nie mogą znajdować się trzy wierzchołki czworokąta.

Wideo

Aby uzyskać więcej informacji na temat wielokątów, obejrzyj ten film.

Część płaszczyzny ograniczona zamkniętą linią przerywaną nazywa się wielokątem.

Odcinki tej linii przerywanej nazywane są imprezy wielokąt. AB, BC, CD, DE, EA (ryc. 1) to boki wielokąta ABCDE. Suma wszystkich boków wielokąta nazywa się jego obwód.

Nazywa się wielokąt wypukły, jeżeli znajduje się po jednej stronie któregokolwiek z jego boków, rozciągając się na czas nieokreślony poza obydwa wierzchołki.

Wielokąt MNPKO (rys. 1) nie będzie wypukły, gdyż leży po więcej niż jednej stronie prostej KR.

Rozważymy tylko wielokąty wypukłe.

Kąty utworzone przez dwa sąsiednie boki wielokąta nazywane są jego wewnętrzny narożniki i ich wierzchołki wierzchołki wielokąta.

Odcinek linii prostej łączący dwa niesąsiadujące ze sobą wierzchołki wielokąta nazywa się przekątną wielokąta.

AC, AD - przekątne wielokąta (ryc. 2).

Kąty przylegające do kątów wewnętrznych wielokąta nazywane są kątami zewnętrznymi wielokąta (ryc. 3).

W zależności od liczby kątów (boków) wielokąt nazywany jest trójkątem, czworokątem, pięciokątem itp.

Mówi się, że dwa wielokąty są przystające, jeśli można je połączyć nakładając się na siebie.

Wielokąty wpisane i opisane

Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta leżą na okręgu, wówczas wielokąt nazywa się wpisany w okrąg, a okrąg - opisane w pobliżu wielokąta (rys.).

Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do okręgu, wówczas wielokąt nazywa się opisane o okręgu i okrąg nazywa się wpisany w wielokąt (ryc.).

Podobieństwo wielokątów

Dwa wielokąty o tej samej nazwie nazywane są podobnymi, jeśli kąty jednego z nich są odpowiednio równe kątom drugiego, a podobne boki wielokątów są proporcjonalne.

Wielokąty o tej samej liczbie boków (kątów) nazywane są wielokątami o tej samej nazwie.

Boki podobnych wielokątów łączących wierzchołki odpowiednio równych kątów nazywane są podobnymi (ryc.).

Czyli np. aby wielokąt ABCDE był podobny do wielokąta A'B'C'D'E' konieczne jest aby: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E' i dodatkowo AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Stosunek obwodów podobnych wielokątów

Najpierw rozważ właściwość szeregu równych stosunków. Załóżmy na przykład, że mamy następujące stosunki: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.

Znajdźmy sumę poprzednich wyrazów tych relacji, następnie sumę ich kolejnych wyrazów i znajdź stosunek otrzymanych sum, otrzymamy:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

To samo otrzymamy, jeśli weźmiemy szereg innych relacji, na przykład: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 Znajdźmy sumę poprzednich wyrazów tych relacji i sumę kolejnych, a następnie znajdź stosunek tych sum, otrzymamy:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

W obu przypadkach suma poprzednich członków szeregu równych relacji odnosi się do sumy kolejnych członków tego samego szeregu, tak jak poprzedni człon którejkolwiek z tych relacji odnosi się do następnego.

Właściwość tę wyprowadziliśmy na podstawie szeregu przykładów numerycznych. Można go wyprowadzić w sposób ścisły i ogólny.

Rozważmy teraz stosunek obwodów podobnych wielokątów.

Niech wielokąt ABCDE będzie podobny do wielokąta A’B’C’D’E’ (ryc.).

Z podobieństwa tych wielokątów wynika, że

AB / A’B’ = BC / B’C’ = CD / C’D’ = DE / D’E’ = EA / E’A’

Na podstawie własności, którą wyprowadziliśmy dla szeregu równych stosunków, możemy napisać:

Suma poprzednich wyrazów przyjętych przez nas relacji reprezentuje obwód pierwszego wielokąta (P), a suma kolejnych wyrazów tych relacji przedstawia obwód drugiego wielokąta (P'), co oznacza P/P ' = AB / A'B'.

Stąd, Obwody podobnych wielokątów są powiązane z ich podobnymi bokami.

Stosunek pól podobnych wielokątów

Niech ABCDE i A’B’C’D’E’ będą wielokątami podobnymi (ryc.).

Wiadomo, że ΔАВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' i ΔADE ~ ΔA'D'E'.

Oprócz,

;

Ponieważ drugie stosunki tych proporcji są równe, co wynika z podobieństwa wielokątów

Korzystając z własności szeregu równych stosunków otrzymujemy:

Lub

gdzie S i S’ są polami tych podobnych wielokątów.

Stąd, Pola podobnych wielokątów są powiązane jak kwadraty o podobnych bokach.

Otrzymany wzór można przekonwertować do postaci: S/S’ = (AB/A’B’) 2

Obszar dowolnego wielokąta

Niech konieczne będzie obliczenie pola dowolnego czworoboku ABC (ryc.).

Narysujmy w nim przekątną, na przykład AD. Otrzymujemy dwa trójkąty ABD i ACD, których pola możemy obliczyć. Następnie znajdujemy sumę pól tych trójkątów. Wynikowa suma wyrazi pole tego czworoboku.

Jeśli chcesz obliczyć powierzchnię pięciokąta, robimy to samo: rysujemy przekątne z jednego z wierzchołków. Otrzymujemy trzy trójkąty, których obszary możemy obliczyć. Oznacza to, że możemy znaleźć obszar tego pięciokąta. To samo robimy przy obliczaniu pola dowolnego wielokąta.

Rzutowany obszar wielokąta

Przypomnijmy, że kąt między prostą a płaszczyzną to kąt między daną prostą a jej rzutem na płaszczyznę (rys.).

Twierdzenie. Pole rzutu ortogonalnego wielokąta na płaszczyznę jest równe polu rzutowanego wielokąta pomnożonemu przez cosinus kąta utworzonego przez płaszczyznę wielokąta i płaszczyznę projekcji.

Każdy wielokąt można podzielić na trójkąty, których suma pól jest równa polu wielokąta. Wystarczy więc udowodnić twierdzenie o trójkącie.

Niech ΔАВС zostanie rzutowane na płaszczyznę R. Rozważmy dwa przypadki:

a) jeden z boków ΔABC jest równoległy do ​​płaszczyzny R;

b) żaden z boków ΔABC nie jest równoległy R.

Rozważmy pierwszy przypadek: niech [AB] || R.

Narysujmy płaszczyznę przechodzącą przez (AB) R 1 || R i rzutuj prostopadle ΔАВС na R 1 i dalej R(Ryż.); otrzymujemy ΔАВС 1 i ΔА'В'С'.

Z własności projekcji mamy ΔАВС 1 (cong) ΔА'В'С', a zatem

S Δ ABC1 = S Δ A’B’C’

Narysujmy ⊥ i odcinek D 1 C 1 . Wtedy ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ jest wartością kąta pomiędzy płaszczyzną ΔABC a płaszczyzną R 1. Dlatego

S Δ ABC1 = 1 / 2 | AB | | do 1 re 1 | = 1 / 2 | AB | | Płyta 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ

i dlatego S Δ A’B’C’ = S Δ ABC cos φ.

Przejdźmy do rozważenia drugi przypadek. Narysujmy samolot R 1 || R przez ten wierzchołek ΔАВС, odległość od płaszczyzny R najmniejszy (niech będzie to wierzchołek A).

Rzućmy ΔАВС na płaszczyznę R 1 i R(Ryż.); niech jego rzuty będą wynosić odpowiednio ΔАВ 1 С 1 i ΔА'В'С'.

Niech (BC) ∩ P 1 = D. Następnie

S Δ A’B’C’ = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Istnieją różne punkty widzenia na temat tego, co jest uważane za wielokąt. Na szkolnym kursie geometrii stosowana jest jedna z poniższych definicji.

Definicja 1

Wielokąt

jest figurą złożoną z segmentów

tak aby sąsiednie segmenty(czyli sąsiadujące segmenty ze wspólnym wierzchołkiem, na przykład A1A2 i A2A3) nie leżą na tej samej prostej, a odcinki niesąsiadujące ze sobą nie mają punktów wspólnych.

Definicja 2

Prosty zamknięty wielokąt nazywany jest wielokątem.

Zwrotnica

są nazywane wierzchołki wielokąta, segmenty

— boki wielokąta.

Nazywa się sumą długości wszystkich boków obwód wielokąta.

Nazywa się wielokąt, który ma n wierzchołków (a więc i boków). n - kwadrat.

Nazywa się wielokąt leżący w tej samej płaszczyźnie płaski. Kiedy ludzie mówią o wielokącie, jeśli nie zaznaczono inaczej, mają na myśli płaski wielokąt.

Nazywa się dwa wierzchołki należące do tego samego boku wielokąta sąsiedni. Na przykład A1 i A2, A5 i A6 są sąsiadującymi wierzchołkami.

Segment łączący dwa niesąsiadujące ze sobą wierzchołki nazywa się przekątna wielokąta.

Dowiedzmy się, ile przekątnych ma wielokąt.

Z każdego z n wierzchołków wielokąta wychodzi n-3 przekątnych

(w sumie jest n wierzchołków. Nie liczymy samego wierzchołka oraz dwóch sąsiednich wierzchołków, które nie tworzą z tym wierzchołkiem przekątnej. Dla np. wierzchołka A1 nie bierzemy pod uwagę samego wierzchołka A1 oraz sąsiednich wierzchołków A2 i A3).

Zatem każdemu z n wierzchołków odpowiada n-3 przekątnych. Ponieważ jedna przekątna odnosi się do dwóch wierzchołków jednocześnie, aby obliczyć liczbę przekątnych wielokąta, iloczyn n(n-3) należy podzielić na pół.

Dlatego n - trójkąt ma

przekątne.

Dowolny wielokąt dzieli płaszczyznę na dwie części - wewnętrzny i zewnętrzny obszar wielokąta. Figura składająca się z wielokąta i jego wewnętrznego obszaru nazywana jest także wielokątem.

Temat: „Wielokąty. Rodzaje wielokątów”.

9 klasa

SHL nr 20

Nauczyciel: Kharitonovich T.I. Cel lekcji: badanie rodzajów wielokątów.

Zadanie edukacyjne: aktualizować, poszerzać i uogólniać wiedzę uczniów na temat wielokątów; stworzyć wyobrażenie o „częściach składowych” wielokąta; przeprowadzić badanie liczby elementów składowych wielokątów foremnych (od trójkąta do n-kątu);

Zadanie rozwojowe: rozwijać umiejętność analizowania, porównywania, wyciągania wniosków, rozwijania umiejętności obliczeniowych, ustnej i pisemnej mowy matematycznej, pamięci, a także samodzielności w myśleniu i działaniach edukacyjnych, umiejętności pracy w parach i grupach; rozwijać działalność badawczą i edukacyjną;

Zadanie edukacyjne: kultywuj samodzielność, aktywność, odpowiedzialność za powierzoną pracę, wytrwałość w dążeniu do celu.

Wyposażenie: tablica interaktywna (prezentacja)

Podczas zajęć

Prezentacja pokazująca: „Wielokąty”

„Natura mówi językiem matematyki, litery tego języka… figury matematyczne”. G.Galliley

Na początku lekcji klasa zostaje podzielona na grupy robocze (w naszym przypadku podzielone na 3 grupy)

1. Etap wywołania-

a) aktualizowanie wiedzy uczniów na dany temat;

b) rozbudzanie zainteresowania studiowanym tematem, motywowanie każdego ucznia do działań edukacyjnych.

Technika: Zabawa „Czy wierzysz, że...”, organizacja pracy z tekstem.

Formy pracy: frontalna, grupowa.

"Wierzysz w to..."

1. ... słowo „wielokąt” wskazuje, że wszystkie figury w tej rodzinie mają „wiele kątów”?

2. ...czy trójkąt należy do dużej rodziny wielokątów, wyróżniającej się spośród różnorodności różnych kształtów geometrycznych na płaszczyźnie?

3. ... czy kwadrat jest ośmiokątem foremnym (cztery boki + cztery rogi)?

Dzisiaj na lekcji porozmawiamy o wielokątach. Dowiadujemy się, że liczba ta jest ograniczona zamkniętą linią przerywaną, która z kolei może być prosta, zamknięta. Porozmawiajmy o tym, że wielokąty mogą być płaskie, regularne lub wypukłe. Jednym z płaskich wielokątów jest trójkąt, który znasz od dawna (możesz pokazać uczniom plakaty przedstawiające wielokąty, linię przerywaną, pokazać ich różne typy, możesz też skorzystać z TSO).

2. Etap poczęcia

Cel: zdobycie nowych informacji, zrozumienie ich, selekcja.

Technika: zygzak.

Formy pracy: indywidualna->w parach->grupowa.

Każdy członek grupy otrzymuje tekst dotyczący tematu lekcji, który jest opracowany w taki sposób, aby zawierał zarówno informacje już znane uczniom, jak i informacje zupełnie nowe. Wraz z tekstem uczniowie otrzymują pytania, na które odpowiedzi muszą znaleźć się w tym tekście.

Wielokąty. Rodzaje wielokątów.

Któż nie słyszał o tajemniczym Trójkącie Bermudzkim, w którym statki i samoloty znikają bez śladu? Ale trójkąt, znany nam z dzieciństwa, jest pełen wielu interesujących i tajemniczych rzeczy.

Oprócz znanych nam już rodzajów trójkątów, podzielonych ze względu na boki (łuski, równoramienny, równoboczny) i kąty (ostry, rozwarty, prostokątny), trójkąt należy do dużej rodziny wielokątów, wyróżniającej się spośród wielu różnych kształtów geometrycznych na samolot.

Słowo „wielokąt” wskazuje, że wszystkie figury w tej rodzinie mają „wiele kątów”. Ale to nie wystarczy, aby scharakteryzować postać.

Linia przerywana A1A2...An to figura składająca się z punktów A1,A2,...An oraz odcinków A1A2, A2A3,... łączących je. Punkty nazywane są wierzchołkami polilinii, a segmenty nazywane są łączami polilinii. (RYS.1)

Linię łamaną nazywa się prostą, jeśli nie ma samoprzecięć (ryc. 2, 3).

Polilinię nazywamy zamkniętą, jeśli jej końce pokrywają się. Długość linii łamanej to suma długości jej ogniw (ryc. 4)

Prostą zamkniętą linię łamaną nazywa się wielokątem, jeśli jej sąsiednie ogniwa nie leżą na tej samej linii prostej (ryc. 5).

Zastąp określoną liczbę, na przykład 3, słowem „wielokąt” zamiast części „wiele”. Otrzymasz trójkąt. Lub 5. Następnie - pięciokąt. Zauważ, że ile jest kątów, tyle jest boków, więc figury te można nazwać wielobocznymi.

Wierzchołki linii łamanej nazywane są wierzchołkami wielokąta, a ogniwa linii łamanej nazywane są bokami wielokąta.

Wielokąt dzieli płaszczyznę na dwa obszary: wewnętrzny i zewnętrzny (ryc. 6).

Płaski wielokąt lub obszar wielokątny to skończona część płaszczyzny ograniczonej wielokątem.

Dwa wierzchołki wielokąta będące końcami jednego boku nazywane są sąsiadującymi. Wierzchołki, które nie są końcami jednego boku, nie są sąsiadujące.

Wielokąt mający n wierzchołków, a co za tym idzie i n boków, nazywany jest n-gonem.

Chociaż najmniejsza liczba boków wielokąta wynosi 3. Ale trójkąty połączone ze sobą mogą tworzyć inne figury, które z kolei są również wielokątami.

Odcinki łączące niesąsiadujące ze sobą wierzchołki wielokąta nazywane są przekątnymi.

Wielokąt nazywa się wypukłym, jeśli leży w tej samej półpłaszczyźnie względem dowolnej linii zawierającej jego bok. W tym przypadku uważa się, że sama linia prosta należy do PÓŁPŁASZCZYZNY

Kąt wielokąta wypukłego w danym wierzchołku to kąt utworzony przez jego boki zbiegające się w tym wierzchołku.

Udowodnijmy twierdzenie (o sumie kątów n-kąta wypukłego): Suma kątów n-kąta wypukłego wynosi 1800*(n - 2).

Dowód. W przypadku n=3 twierdzenie jest ważne. Niech A1A2...A n będzie danym wielokątem wypukłym i n>3. Narysujmy w nim przekątne (z jednego wierzchołka). Ponieważ wielokąt jest wypukły, te przekątne dzielą go na n – 2 trójkąty. Suma kątów wielokąta to suma kątów wszystkich tych trójkątów. Suma kątów każdego trójkąta wynosi 1800, a liczba tych trójkątów n wynosi 2. Zatem suma kątów wypukłego trójkąta n A1A2...A n wynosi 1800* (n - 2). Twierdzenie zostało udowodnione.

Kąt zewnętrzny wielokąta wypukłego w danym wierzchołku to kąt przylegający do kąta wewnętrznego wielokąta w tym wierzchołku.

Wielokąt wypukły nazywa się foremnym, jeśli wszystkie jego boki są równe i wszystkie kąty są równe.

Kwadrat można więc nazwać inaczej - regularnym czworobokiem. Trójkąty równoboczne są również regularne. Takie figury od dawna interesują rzemieślników dekorujących budynki. Robili piękne wzory np. na parkiecie. Ale nie wszystkie regularne wielokąty można wykorzystać do wykonania parkietu. Parkietu nie można wykonać ze zwykłych ośmiokątów. Faktem jest, że każdy kąt jest równy 1350. A jeśli jakiś punkt jest wierzchołkiem dwóch takich ośmiokątów, to ich udział wyniesie 2700, a trzeci ośmiokąt nie ma gdzie się tam zmieścić: 3600 - 2700 = 900. Ale dla wystarczy kwadrat. Dlatego możesz wykonać parkiet ze zwykłych ośmiokątów i kwadratów.

Gwiazdy też mają rację. Nasza pięcioramienna gwiazda jest regularną gwiazdą pięciokątną. A jeśli obrócisz kwadrat wokół środka o 450, otrzymasz zwykłą ośmiokątną gwiazdę.

Co to jest linia przerywana? Wyjaśnij, czym są wierzchołki i łącza polilinii.

Która linia przerywana nazywa się prostą?

Która linia przerywana nazywa się zamkniętą?

Jak nazywa się wielokąt? Jak nazywają się wierzchołki wielokąta? Jak nazywają się boki wielokąta?

Który wielokąt nazywa się płaskim? Podaj przykłady wielokątów.

Co to jest n – kwadrat?

Wyjaśnij, które wierzchołki wielokąta sąsiadują ze sobą, a które nie.

Jaka jest przekątna wielokąta?

Który wielokąt nazywa się wypukłym?

Wyjaśnij, które kąty wielokąta są zewnętrzne, a które wewnętrzne?

Który wielokąt nazywa się foremnym? Podaj przykłady wielokątów foremnych.

Jaka jest suma kątów wypukłego n-kąta? Udowodnij to.

Studenci pracują z tekstem, szukają odpowiedzi na postawione pytania, po czym tworzą się grupy eksperckie, w których toczą się prace nad tymi samymi zagadnieniami: uczniowie podkreślają główne punkty, sporządzają uzupełniające podsumowanie i prezentują informacje w jednym z formy graficzne. Po zakończeniu pracy uczniowie wracają do swoich grup roboczych.

3. Etap refleksji -

a) ocena własnej wiedzy, wyzwanie do kolejnego etapu wiedzy;

b) zrozumienie i przyswojenie otrzymanych informacji.

Recepcja: praca badawcza.

Formy pracy: indywidualna->w parach->grupowa.

W grupach roboczych znajdują się specjaliści zajmujący się odpowiedzią na każdą sekcję proponowanych pytań.

Wracając do grupy roboczej, ekspert przedstawia odpowiedzi na swoje pytania pozostałym członkom grupy. Grupa wymienia informacje pomiędzy wszystkimi członkami grupy roboczej. Zatem w każdej grupie roboczej, dzięki pracy ekspertów, kształtuje się ogólne zrozumienie badanego tematu.

Praca naukowa studentów– wypełnienie tabeli.

Wielokąty foremne Rysunek Liczba boków Liczba wierzchołków Suma wszystkich kątów wewnętrznych Miara stopnia wewnętrznego. kąt Stopień miary kąta zewnętrznego Liczba przekątnych

Trójkąt

B) czworobok

B) pięciodołkowy

D) sześciokąt

D) n-gon

Rozwiązywanie ciekawych problemów związanych z tematem lekcji.

1) Ile boków ma wielokąt foremny, którego każdy kąt wewnętrzny wynosi 1350?

2) W pewnym wielokącie wszystkie kąty wewnętrzne są sobie równe. Czy suma kątów wewnętrznych tego wielokąta może wynosić: 3600, 3800?

3) Czy można zbudować pięciokąt o kątach 100,103,110,110,116 stopni?

Podsumowanie lekcji.

Zapis pracy domowej: STRONA 66-72 nr 15,17 ORAZ ZADANIE: W CWADRIAGNIE NARYSUJ PROSTĄ LINIĘ TAK, ABY PODZIELIŁA JĄ NA TRZY TRÓJKĄTY.

Refleksja w formie testów (na tablicy interaktywnej)