Течение в длинной трубе кругового сечения под действием разности давлений на концах трубы было изучено Гагеном в 1839 г. и Пуазейлем в 1840 г. Можно считать, что течение, как и граничные условия, имеет осевую симметрию, так что - функция только расстояния от оси трубы. Соответствующее решение Уравнения (4.2.4) таково:

При в этом решении имеется нереальная особенность (связанная с конечной силой, действующей на жидкость на единицу

длины отрезка оси), если постоянная А не равна нулю; поэтому выберем именно это значение А. Выбирая постоянную В такой, чтобы получить на границе трубы при находим

Практический интерес представляет объемный поток жидкости через любое сечение трубы, величина которого

где (модифицированные) давления в начальном и концевом сечениях отрезка трубы, имеющего длину Гаген и Пуазейль установили в экспериментах с водой, что поток зависит от первой степени перепада давления и четвертой степени радиуса трубы (половина этой степени получается вследствие зависимости площади поперечного сечения трубы от ее радиуса, а другая половина связана с увеличением скорости и для данной результирующей силы вязкости при увеличении радиуса трубы). Точность, с которой получено постоянство отношения в наблюдениях, убедительно подтверждает предположение об отсутствии скольжения частиц жидкости на стенке трубы, а также косвенно подтверждает гипотезу о линейной зависимости вязкого напряжения от скорости деформации в данных условиях.

Касательное напряжение на стенке трубы равно

так что полная сила трения в направлении течения на участке трубы длиной I равна

Такого выражения для полной силы трения на стенке трубы и следовало ожидать, так как все элементы жидкости внутри этой части трубы в данный момент времени находятся в состоянии установившегося движения под действием нормальных сил на двух концевых сечениях и силы трения на стенке трубы. Кроме того, из выражения (4.1.5) видно, что скорость диссипации механической энергии на единицу массы жидкости под влиянием вязкости определяется в данном случае выражением

Таким образом, полная скорость диссипации в жидкости, заполняющей в данный момент отрезок круговой трубы длиной I, равна

В случае, в котором среда в трубе представляет собой капельную жидкость и на обоих концах трубы действует атмосферное давление (как если бы жидкость поступала в трубу из мелкого открытого резервуара и вытекала из конца трубы), градиент давления вдоль трубы создается силой тяжести. Абсолютное давление в данном случае одно и то же на обоих ее концах и поэтому постоянно во всей жидкости, так что модифицированное давление равно а и

Идеа́льная жи́дкость - в гидродинамике - воображаемая несжимаемая жидкость, в которой отсутствуют вязкость и теплопроводность. Так как в ней отсутствует внутреннее трение, то нет касательных напряжений между двумя соседними слоями жидкости.

Моделью идеальной жидкости пользуются при теоретическом рассмотрении задач, в которых вязкость не является определяющим фактором и ею можно пренебречь. В частности, такая идеализация допустима во многих случаях течения, рассматриваемыхгидроаэромеханикой, и даёт хорошее описание реальных течений жидкостей и газов на достаточном удалении от омываемых твёрдых поверхностей и поверхностей раздела с неподвижной средой. Математическое описание течений идеальных жидкостей позволяет найти теоретическое решение ряда задач о движении жидкостей и газов в каналах различной формы, при истечении струй и при обтекании тел.

Закон Пуазейля представляет собой формулу для объемной скорости течения жидкости. Он был открыт экспериментально французским физиологом Пуазейлем, который исследовал течение крови в кровеносных сосудах. Закон Пуазейля часто называют главным законом гидродинамики.

Закон Пуазейля связывает объемную скорость течения жидкости с разностью давления в начале и конце трубки как движущей силой потока, вязкостью жидкости, радиусом и длиной трубки. Закон Пуазейля используют в случае, если течение жидкости ламинарное. Формула закона Пуазейля:

где Q - объемная скорость жидкости (м 3 /с), (P 1 - P 2) - различие давления через концы трубки (Па ), r - внутренний радиус трубки (м ),l - длина трубки (м ), η - вязкость жидкости (Па с ).

Закон Пуазейля показывает, что величина Q пропорциональна разнице давления P 1 - P 2 в начале и конце трубки. Если P 1 равняется P 2 , поток жидкости прекращается. Формула закона Пуазейля также показывает, что высокая вязкость жидкости приводит к снижению объемной скорости течения жидкости. Оно также показывает, что объемная скорость жидкости чрезвычайно зависима от радиуса трубки. Это подразумевает, что умеренные изменения радиуса кровеносных сосудов могут обеспечивать большие различия объемной скорости жидкости, протекающей через сосуд.

Формула закона Пуазейля упрощается и становится более универсальной при введении вспомогательной величины - гидродинамического сопротивления R , которое для цилиндрической трубки может быть определено по формуле:

Течение Пуазейля - ламинарное течение жидкости через тонкие цилиндрические трубки. Описывается законом Пуазейля.

Окончательно потери напора при ламинарном движении жидкости в трубе:

Несколько преобразовав формулу для определения потерь напора, получим формулу Пуазейля:

Закон установившегося течения в вязкой несжимаемой жидкости в тонкой цилиндрической трубке круглого сечения. Сформулирован впервые Готтфильхом Хагеном в 1839 и вскоре повторно выведен Ж.Л. Пуазейлем в 1840. Согласно закону, секундный объемный расход жидкости пропорционален перепаду давления на единицу длины трубки. Закон Пуазейля применим только при ламинарном течении и при условии, что длина трубки превышает так называемую длину начального участка необходимую для развития ламинарного течения в трубке.

Свойства течения Пуазейля:

Течение Пуазейля характеризуется параболическим распределением скорости по радиусу трубки.

В каждом поперечном сечении трубки средняя скорость вдвое меньше максимальной скорости в этом сечении.

Из формулы Пуазейля видно, что потери напора при ламинарном движении пропорциональны первой степени скорости или расхода жидкости.

Формулой Пуазейля пользуются при расчетах показателей транспортировки жидкостей и газов в трубопроводах различного назначения. Ламинарный режим работы нефте- и газопроводов является наиболее выгодным в энергетическом отношении. Так, в частности, коэффициент трения при ламинарном режиме практически не зависит от шероховатости внутренней поверхности трубы (гладкие трубы).

Гидравлическое сопротивление

в трубопроводах (a. hydraulic resistance; н. hydraulischer Widerstand; ф. resistance hydraulique; и. perdida de presion por rozamiento) - сопротивление движению жидкостей (и газов), оказываемое трубопроводом. Г. с. на участке трубопровода оценивается величиной "потерянного" давления ∆p, представляющего собой ту часть удельной энергии потока, к-рая необратимо расходуется на работу сил сопротивления. При установившемся течении жидкости (газа) в трубопроводе круглого сечения ∆p (н/м 2) определяется по формуле

где λ - коэфф. гидравлич. сопротивления трубопровода; u - ср. по сечению скорость потока, м/с; D - внутр. диаметр трубопровода, м; L - длина трубопровода, м; ρ - плотностьжидкости, кг/м 3 .
Местные Г. с. оцениваются по формуле

где ξ - коэфф. местного сопротивления.
В процессе эксплуатации магистральных трубопроводов Г. с. возрастает вследствиеотложения парафина (нефтепроводы), скоплений воды, конденсата или образования гидратов углеводородных газов (газопроводы). Для снижения Г. с. производят периодич. очистку внутр. полости трубопроводов спец. скребками или разделителями

В 1851 Джордж Стокс получил выражение для силы трения (также называемой силойлобового сопротивления), действующей на сферические объекты с очень маленькимичислами Рейнольдса (например, очень маленькие частицы) в непрерывной вязкойжидкости, решая уравнение Навье - Стокса:

· g - ускорение свободного падения (м/с²),

· ρ p - плотность частиц (кг/м³),

· ρ f - плотность жидкости (кг/м³),

· - динамическая вязкость жидкости (Па с).

1. Постановка задачи

2. Уравнение неразрывности

4. Установившееся ламинарное течение между параллельным плоскостями

5. Течение Куэтта

6. Течение Пуазейля

7. Общий случай течения между параллельными стенками

8. Пример задачи

Список используемой литературы

Постановка задачи

Ламинарные течения, некоторые из которых рассмотрены в данном курсовом проекте, встречаются в разнообразных технических задачах, в частности, в зазорах и малых полостях машин. В особенности при течении таких вязких жидкостей как масло, нефть, различные жидкости для гидропередач образуются устойчивые ламинарные течения, для описания которых надежной базой могут послужить уравнения Навье–Стокса. Течение Гартмана, подобное течению Пуазейля, применяется, к примеру, в МГД-насосах. В этом случае рассматривается плоское стационарное течение электропроводящей жидкости между двумя изолированными пластинами в поперечном магнитном поле.

Задача данного курсового проекта – рассмотрение и нахождение основных характеристик плоского стационарного ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости при параболическом распределении скоростей (течения Пуазейля).

Уравнение неразрывности

Получившиеся выражения можно приравнять, так как они дают одну и ту же величину. При этом следует учесть, что первый интеграл положителен, если через поверхность S вытекает жидкости больше, чем втекает, а второй при этом же условии – отрицателен, так как ввиду сплошности течения в рассматриваемом в рассматриваемом случае плотность уменьшается во времени

По теореме Остроградского – Гаусса:

В векторном анализе сумма частных производных от проекций вектора по одноименным координатам называется дивергенцией или расхождением вектора. В данном случае

поэтому уравнение (1) можно переписать в виде

Так как объем Wпроизвольный, подынтегральная функция равна нулю, т.е.

Уравнение (2) является уравнением неразрывности в дифференциальной форме для произвольного движения сжимаемой жидкости. Соотношение (1) можно рассматривать как интегральную форму уравнения неразрывности.

Если будем рассматривать условие сохранения массы движущегося жидкого объема, то придем также к уравнению (2), которому в этом случае можно придать иной вид.

Поскольку с = с (x, y, z, t) и при движении жидкого объема х = х(t),

у = у (t), z =z (t), то

т. е. уравнение (2) будет иметь вид

гдеdс/dt- полная производная плотности.

Для установившегося движения сжимаемой жидкости∂с/∂t = 0 и. следовательно, из уравнения (2) получаем

Для любого движения несжимаемой жидкости с = const и, следовательно

3. Уравнение движения вязкой жидкости в форме Навье-Стокса

Уравнение движения жидкости в напряжениях:

Согласно закону Ньютона вязкостные напряжения при прямолинейном движении жидкости пропорциональны скоростям угловых деформаций. Обобщением этого факта на случай произвольного движения является гипотеза о том, что касательные напряжения, а также зависящие от ориентации площадок части нормальных напряжений пропорциональны соответствующим скоростям деформаций. Иными словами, предполагается во всех случаях движения жидкости линейная связь между вязкостными напряжениями и скоростями деформаций. При этом коэффициент пропорциональности в формулах, выражающих эту связь, должен быть динамический коэффициент вязкости м. Воспользовавшись гипотезой, что в точке жидкости

Внося в уравнение (6) выражения (7), получим

Группируя члены со вторыми производными, деля на с и используя оператор Лапласа, запишем:

Эти уравнения называются уравнениями Навье - Стокса; их используют для описания движений вязких сжимаемых жидкостей и газов.

Решение системы уравнений, описывающей поведение вязкой жидкости, аналитическими методами, в общем случае невозможно. Только в случае некоторых простейших видов течений эти уравнения имеют аналитические решения. Задачи, имеющие практическое значение, решаются в основном с помощью приближенных численных методов на ЭВМ. Основная трудность аналитического решения этих уравнений обусловлена нелинейным членом. В этом параграфе мы рассмотрим простейшие стационарные течения, для которых член тождественно равен нулю. Это течения Куэтта и Пуазейля .

Вызвать движение вязкой жидкости можно двумя способами: с помощью внешних сил (объемных сил или сил давления, например, создав разность давлений на концах горизонтальной трубки или выводя трубку из горизонтального положения), или перемещая стенки, ограничивающие жидкость.

Стационарное течение, вызванное внешними силами давления, называется течением Пуазейля, а течение, вызванное перемещением стенок, - течением Куэтта. Течения, описанные в предыдущем параграфе, являются примерами таких течений.

1 . Плоско-параллельное течение Куэтта. Исследуем распределение скоростей и давлений в течении, изображенном на рис. 19.13а. Связав координатную плоскость XY с нижней пластиной, для краевых условий получим:

. (19.64)

Для стационарного течения несжимаемой жидкости уравнение неразрывности примет следующий вид:

(19.65)

а уравнение Навье-Стокса

. (19.66)

Исходя из симметрии течения, можно утверждать, что отлична от нуля только одна составляющая скорости. Очевидно также, что скорость (как и давление) не может зависеть от координаты. В этом случае из уравнения неразрывности (19.65) следует, что =0, то есть не зависит также и от координаты x . Значит, . При этих условиях очевидно, что

. (19.67)

Проектируя уравнение (19.66) на оси X и Z , учитывая, и что в течении Куэтта отсутствует падение давления вдоль течения, то есть p = p (z ), получим

. (19.68)

Второе уравнение дает распределение гидростатического давления в жидкости, которое не имеет никакого влияния на динамику течения, а из первого уравнения получаем закон

Постоянные интегрирования А и В определяются из краевых условий (19.64): . Следовательно, в плоско-параллельном течении Куэтта скорость имеет следующее распределение:

, (19.69)

представленое на рис.19.13 б (линейный профиль скорости). Напряжение трения в жидкости везде одинаково и равно по величине

(19.70)

причем на нижней пластине оно имеет направление течения, а на верхней – противоположное направление. Поэтому для того, чтобы нижняя пластина не двигалась, к ней необходимо приложить силу, где – площадь поверхности пластины.

2 . Плоско-параллельное течение Пуазейля. В этом случае пластины неподвижны, но вдоль оси X поддерживается постоянная разность давлений:

. (19.71)

И снова, исходя из соображений симметрии, пользуясь уравнением неразрывности, получим условие. Так что верны также соотношения (19.67). Проектируя уравнение Навье-Стокса на оси X и Z , получим

. (19.72)

Из первого уравнения получаем. Подставляя его во второе уравнение, получим

(19.73)

левая часть которой зависит только от X , а правая – от z . Это возможно, если левая и правая части уравнения равны одной и той же постоянной А, которая и выражена в (19.73). Пользуясь условием (19.71), получим

(19.74)

где. Интегрирование уравнения (19.73) по z даст

. (19.74)

Постоянные B и C интегрирования определим, исходя из условия «сцепления»

. (19.75)

Определив постоянные B , C и подставив их в (19.74), получим:

. (19.76)

Рис.19.14

Как видим, плоско-параллельное течение Пуазейля характеризуется параболическим профилем поля скоростей (рис. 19.14). Напряжение трения на стенках направлено по оси X и равно.

3 . Течение Пуазейля в круглой цилиндрической трубке. Так как в прямой трубке течение симметрично относительно сои цилиндра, то удобно вдоль этой оси направить ось, а с основанием связать координатную плоскость (рис. 19.15). Течение создается и поддерживается постоянной разностью давлений:

. (19.77)

Понятно, что скорость в цилиндре имеет только составляющую. Благодаря осевой симметрии течения, величины будут независимы от координаты (в этой задаче сила тяжести не учитывается). Из уравнения неразрывности следует, что не может зависеть также от:

. (19.78)

В этом случае

С учетом последних, составляющие и уравнения Навье-Стокса дадут

. (19.79)

Из первого уравнения следует, что, а левая и правая части второго уравнения, будучи зависимы от разных независимых переменных, должны быть равны одной и той же постоянной величине. Из условия (19.77) определим

рис.19.15

Подставляя это в (19.79) и интегрируя по, получим:

Из конечности скорости на оси следует, что, а определяется из краевого условия скорости:

(19.80)

где – радиус цилиндра. Значит, профиль скорости снова является параболическим

(19.81)

в котором скорость достигает максимального значения на оси цилиндра:

Масса жидкости, протекающая по поперечному сечению трубки за единицу времени, будет

(19.82)

то есть прямо пропорциональна произведению четвертой степени радиуса трубки и падения давления и обратно пропорциональна кинетической вязкости жидкости.

Напряжение трения на стенке трубки в данном случае равно

и направлено вдоль течения.

Течения, рассмотренные в данном параграфе, являются идеализациями, так как твердые тела (пластинки, трубка) предполагаются бесконечными. Однако полученные результаты применяются на практике, если, например, длина и ширина пластин намного больше расстояния между ними или если длина цилиндра намного больше его радиуса. Эксперименты, проведенные в подобных цилиндрах, привели Хагена (1839) и Пуазейля (1840) к результату (19.82), которое впоследствии было теоретически получено Стоксом (1845). Существенно, что Хаген утверждал также, что результат (19.82) имеет место в опыте при небольших скоростях и не очень маленьких значениях вязкости.

Ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе

Анимация

Описание

Вследствие ламинарного (слоистого) характера течения вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе скорость потока некоторым образом распределена по сечению трубы (рис. 1).

Распределение скоростей у входа в трубу при ламинарном течении

Рис. 1

L1 - длина начального участка формирования постоянного профиля скоростей.

Закон Пуазейля (математическим выражением которого является формула Пуазейля ) устанавливает зависимость между объемом жидкости, протекающим через трубу в единицу времени (расходом), длиной и радиусом трубы, и перепадом давления в ней.

Пусть ось трубы совпадает с осью Oz прямоугольной декартовой системы координат. При ламинарном течении скорость v жидкости во всех точках трубы параллельна оси Oz , т.е. v x = v y = 0, v z = v . Из уравнения неразрывности

dv /dt =F - (1/ r )grad p ,

где F - напряженность поля массовых сил;

р - давление;

r - плотность жидкости,

следует, что

дv/дz = 0, т.е. v = f(x,y) .

Из уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (Навье-Стокса) следует:

дp/дx = дp/дy= 0,

дp/дz = dp/dz = h(д 2 v/дx 2 + д 2 v/дy 2 ) = const = -(D p/l) ,

где D p - падение давления на участке трубы длиной l .

Для круглой цилиндрической трубы данное уравнение можно представить в виде

(1/r)d(r(dv/dr))/dr = - D p/ h l ,

где r = sqr(x 2 + y 2 ) - расстояние от оси трубы.

Распределение скоростей по сечению трубы является параболическим и выражается формулой:

v(r) = (D p / 4 h l) (R 2 - r 2 ) ,

где R - радиус трубы;

r - расстояние от оси до рассматриваемой точки поперечного сечения;

h - динамическая вязкость жидкости;

D p - падение давления на участке трубы длиной l .

Секундный объемный расход жидкости определяется по формуле Пуазейля :

Q c = [(p R 4 ) /8 h l] D p.

Данная формула справедлива для ламинарных потоков, условие существования которых характеризуются критическим числом Рейнольдса Re кр (Re = 2Q c /p R n , n - кинематическая вязкость). При Re = Re кр ламинарное течение переходит в турбулентное. Для гладких круглых труб Re кр » 2300.

Временные характеристики

Время инициации (log to от -1 до 1);

Время существования (log tc от -1 до 5);

Время деградации (log td от -1 до 1);

Время оптимального проявления (log tk от 0 до 2).

Диаграмма:

Технические реализации эффекта

Закон Пуазейля применяется для определения коэффициентов различных жидкостей при различных температурах посредством капиллярных вискозиметров.

Техническая реализация эффекта

Рис. 2

Обозначения:

1 - контрольный участок трубы;

2 - баллон;

3 - редуктор;

4 - регулятор давления;

5 - манометр;

6 - вентиль;

7 - расходомер.

Уравнение Пуазейля играет важную роль в физиологии нашего кровообращения.

Применение эффекта

Формулой Пуазейля пользуются при расчетах показателей транспортировки жидкостей и газов в трубопроводах различного назначения. Ламинарный режим работы нефте- и газопроводов является наиболее выгодным в энергетическом отношении. Так, в частности, коэффициент трения при ламинарном режиме практически не зависит от шероховатости внутренней поверхности трубы (гладкие трубы).

Литература

1.Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред.- М.: Наука, 1982.

2. Разработка и эксплуатация нефтяных, газовых и газоконденсатных месторождений / Под ред. Ш.К. Гиматудинова.- М.: Недра, 1988.

Ключевые слова

• вязкость
• давление
• динамическая вязкость
• гидродинамика
• жидкость вязкая
• ламинарное течение
• напор
• перепад давления
• труба
• Пуазейля закон
• Пуазейля формула
• число Рейнольдса
• число Рейнольдса критическое

Разделы естественных наук: