Die Strömung in einem langen Rohr mit kreisförmigem Querschnitt unter dem Einfluss einer Druckdifferenz an den Rohrenden wurde 1839 von Hagen und 1840 von Poiseuille untersucht. Wir können davon ausgehen, dass die Strömung, ebenso wie die Randbedingungen, axiale Symmetrie aufweist , so dass - nur eine Funktion des Abstands von der Rohrachse ist. Die entsprechende Lösung für Gleichung (4.2.4) lautet:

In dieser Lösung gibt es ein unrealistisches Merkmal (verbunden mit einer endlichen Kraft, die pro Einheit auf die Flüssigkeit wirkt).

die Länge des Achsensegments), wenn die Konstante A ungleich Null ist; Daher wählen wir genau diesen Wert von A. Wählen wir eine Konstante B, wie sie an der Rohrgrenze bei erhalten wird, finden wir

Von praktischem Interesse ist der Volumenstrom der Flüssigkeit durch einen beliebigen Abschnitt des Rohrs, dessen Wert

wobei (modifizierte) Drücke im Anfangs- und Endabschnitt eines Rohrabschnitts der Länge Hagen und Poiseuille in Experimenten mit Wasser festgestellt haben, dass die Strömung von der ersten Potenz des Druckabfalls und der vierten Potenz des Rohrradius (der Hälfte dieser Potenz) abhängt wird aufgrund der Abhängigkeit der Querschnittsfläche des Rohrs von seinem Radius erhalten, und die andere Hälfte ist mit einer Zunahme der Geschwindigkeit und für eine gegebene resultierende viskose Kraft mit zunehmendem Rohrradius verbunden. Die Genauigkeit, mit der die Konstanz des Verhältnisses in den Beobachtungen ermittelt wurde, bestätigt überzeugend die Annahme, dass es zu keinem Gleiten von Flüssigkeitspartikeln an der Rohrwand kommt, und bestätigt indirekt auch die Hypothese über die lineare Abhängigkeit der viskosen Spannung von der Dehnungsgeschwindigkeit unter diesen Bedingungen.

Die Tangentialspannung an der Rohrwand ist gleich

Die gesamte Reibungskraft in Strömungsrichtung auf einen Rohrabschnitt der Länge I ist also gleich

Ein solcher Ausdruck für die Gesamtreibungskraft an der Rohrwand war zu erwarten, da sich alle Elemente der Flüssigkeit in diesem Teil des Rohrs zu einem bestimmten Zeitpunkt unter dem Einfluss der Normalkräfte an der Rohrwand in einem Zustand stetiger Bewegung befinden zwei Endabschnitte und die Reibungskraft an der Rohrwand. Darüber hinaus geht aus Ausdruck (4.1.5) hervor, dass die Dissipationsrate mechanischer Energie pro Masseneinheit der Flüssigkeit unter dem Einfluss der Viskosität in diesem Fall durch den Ausdruck bestimmt wird

Somit ist die gesamte Dissipationsrate in der Flüssigkeit, die derzeit einen Abschnitt eines kreisförmigen Rohrs der Länge I füllt, gleich

Für den Fall, dass das Medium im Rohr eine tropfende Flüssigkeit ist und an beiden Enden des Rohrs Atmosphärendruck herrscht (als ob die Flüssigkeit aus einem flachen offenen Behälter in das Rohr eintreten und am Ende des Rohrs ausfließen würde), a Der Druckgradient entlang des Rohrs wird durch die Schwerkraft erzeugt. Der absolute Druck ist in diesem Fall an beiden Enden gleich und daher in der gesamten Flüssigkeit konstant, sodass der modifizierte Druck gleich a und ist

Ideale Flüssigkeit- in der Hydrodynamik - eine imaginäre inkompressible Flüssigkeit, in der es keine Viskosität und Wärmeleitfähigkeit gibt. Da es keine innere Reibung gibt, gibt es auch keine Tangentialspannungen zwischen zwei benachbarten Flüssigkeitsschichten.

Das ideale Flüssigkeitsmodell wird bei der theoretischen Betrachtung von Problemen verwendet, bei denen die Viskosität kein bestimmender Faktor ist und vernachlässigt werden kann. Insbesondere ist eine solche Idealisierung in vielen von der Hydroaeromechanik betrachteten Strömungsfällen akzeptabel und liefert eine gute Beschreibung realer Strömungen von Flüssigkeiten und Gasen in ausreichender Entfernung von den gewaschenen Festkörperoberflächen und Grenzflächen mit einem stationären Medium. Eine mathematische Beschreibung der Strömung idealer Flüssigkeiten ermöglicht die theoretische Lösung einer Reihe von Problemen der Bewegung von Flüssigkeiten und Gasen in Kanälen unterschiedlicher Form, beim Ausströmen von Strahlen und bei der Umströmung von Körpern.

Das Poiseuillesche Gesetz ist eine Formel für den Volumenstrom einer Flüssigkeit. Es wurde experimentell vom französischen Physiologen Poiseuille entdeckt, der den Blutfluss in Blutgefäßen untersuchte. Das Gesetz von Poiseuille wird oft als das Hauptgesetz der Hydrodynamik bezeichnet.

Das Gesetz von Poiseuille setzt den Volumenstrom einer Flüssigkeit mit der Druckdifferenz am Anfang und Ende des Rohrs als treibende Kraft der Strömung, der Viskosität der Flüssigkeit sowie dem Radius und der Länge des Rohrs in Beziehung. Das Gesetz von Poiseuille wird verwendet, wenn die Flüssigkeitsströmung laminar ist. Poiseuilles Gesetzesformel:

Wo Q- volumetrische Flüssigkeitsgeschwindigkeit (m 3 /s), (P 1- P 2)- Druckunterschied an den Enden des Rohrs ( Pa), R- Innenradius des Rohres ( M),l- Rohrlänge ( M), η - Flüssigkeitsviskosität ( Pa s).

Das Gesetz von Poiseuille zeigt, dass die Menge Q proportional zur Druckdifferenz P 1 - P 2 am Anfang und Ende der Röhre. Wenn P 1 gleicht P2, der Flüssigkeitsfluss stoppt. Die Formel des Poiseuille-Gesetzes zeigt auch, dass eine hohe Viskosität einer Flüssigkeit zu einer Verringerung des Volumenstroms der Flüssigkeit führt. Es zeigt auch, dass die Volumengeschwindigkeit der Flüssigkeit stark vom Radius des Rohrs abhängt. Dies impliziert, dass geringfügige Änderungen im Radius von Blutgefäßen große Unterschiede in der Volumengeschwindigkeit der durch das Gefäß fließenden Flüssigkeit hervorrufen können.

Die Formel des Poiseuille-Gesetzes vereinfacht und wird durch die Einführung einer Hilfsgröße universeller – hydrodynamischer Widerstand R, die für ein zylindrisches Rohr durch die Formel bestimmt werden kann:

Poiseuille-Strom- laminare Flüssigkeitsströmung durch dünne zylindrische Rohre. Beschrieben durch das Gesetz von Poiseuille.

Der endgültige Druckverlust während der laminaren Bewegung einer Flüssigkeit in einem Rohr beträgt:

Nachdem wir die Formel zur Bestimmung des Druckverlusts leicht verändert haben, erhalten wir Poiseuilles Formel:

Das Gesetz der stetigen Strömung in einer viskosen, inkompressiblen Flüssigkeit in einem dünnen zylindrischen Rohr mit kreisförmigem Querschnitt. Erstmals 1839 von Gottfilch Hagen formuliert und bald von J.L. neu abgeleitet. Poiseuille im Jahr 1840. Dem Gesetz zufolge ist der zweite Volumenstrom einer Flüssigkeit proportional zum Druckabfall pro Längeneinheit des Rohrs . Poiseuilles Gesetz gilt nur für laminare Strömung und vorausgesetzt, dass die Länge des Rohrs die sogenannte Länge des Anfangsabschnitts überschreitet, die für die Entwicklung einer laminaren Strömung im Rohr erforderlich ist.

Poiseuille-Fließeigenschaften:

Die Poiseuille-Strömung zeichnet sich durch eine parabolische Geschwindigkeitsverteilung entlang des Rohrradius aus.

In jedem Rohrquerschnitt beträgt die Durchschnittsgeschwindigkeit die Hälfte der Maximalgeschwindigkeit in diesem Abschnitt.

Aus der Formel von Poiseuille geht klar hervor, dass Druckverluste bei laminarer Strömung proportional zur ersten Potenz der Geschwindigkeit oder Strömungsgeschwindigkeit des Fluids sind.

Die Poiseuille-Formel wird bei der Berechnung von Indikatoren für den Transport von Flüssigkeiten und Gasen in Rohrleitungen für verschiedene Zwecke verwendet. Der laminare Betriebsmodus von Öl- und Gaspipelines ist der energieeffizienteste. So ist insbesondere der Reibungskoeffizient im laminaren Modus praktisch unabhängig von der Rauheit der Rohrinnenoberfläche (glatte Rohre).

Hydraulischer Widerstand

in Rohrleitungen ( A. hydraulischer Widerstand; N. hydraulischer Widerstand; F. hydraulischer Widerstand; Und. perdida de presion por rozamiento) – Widerstand gegen die Bewegung von Flüssigkeiten (und Gasen), die durch die Rohrleitung bereitgestellt werden. G. s. auf dem Rohrleitungsabschnitt wird durch den Wert des „verlorenen“ Drucks ∆p geschätzt, der den Teil der spezifischen Strömungsenergie darstellt, der irreversibel für die Arbeit der Widerstandskräfte aufgewendet wird. Bei einem stetigen Fluss von Flüssigkeit (Gas) in einer kreisförmigen Rohrleitung wird ∆p (n/m 2) durch die Formel bestimmt

wo λ - Koeffizient. hydraulisch Pipeline-Widerstand; u - Durchschn. Querschnittsströmungsgeschwindigkeit, m/s; D – intern Rohrleitungsdurchmesser, m; L - Rohrleitungslänge, m; ρ ist die Dichte der Flüssigkeit, kg/m3.
Lokale G. s. werden durch die Formel geschätzt

wo ξ - Koeffizient. lokaler Widerstand.
Beim Betrieb von Hauptgasleitungen. steigt aufgrund der Ablagerung von Paraffin (Ölpipelines), der Ansammlung von Wasser, Kondensat oder der Bildung von Kohlenwasserstoff-Gashydraten (Gaspipelines). Um G. s. zu reduzieren. regelmäßig produzieren Innenreinigung spezielle Rohrleitungshohlräume Schaber oder Separatoren

Im Jahr 1851 leitete George Stokes einen Ausdruck für die Reibungskraft (auch Widerstandskraft genannt) ab, die auf kugelförmige Objekte mit sehr kleinen Reynolds-Zahlen (z. B. sehr kleine Partikel) in einer kontinuierlichen viskosen Flüssigkeit wirkt, indem er die Navier-Stokes-Gleichung löste:

· G- Beschleunigung des freien Falls (m/s²),

· ρ p- Partikeldichte (kg/m³),

· ρf- Flüssigkeitsdichte (kg/m³),

· - dynamische Viskosität der Flüssigkeit (Pa s).

1. Darstellung des Problems

2. Kontinuitätsgleichung

4. Stetige laminare Strömung zwischen parallelen Ebenen

5. Couette Current

6. Poiseuille-Strom

7. Allgemeiner Fall einer Strömung zwischen parallelen Wänden

8. Beispielproblem

Literaturverzeichnis

Formulierung des Problems

Laminare Strömungen, von denen einige in diesem Kursprojekt behandelt werden, kommen bei einer Vielzahl technischer Probleme vor, insbesondere in Spalten und kleinen Hohlräumen von Maschinen. Insbesondere bei der Strömung von viskosen Flüssigkeiten wie Öl, Erdöl und verschiedenen Flüssigkeiten für hydraulische Getriebe bilden sich stabile laminare Strömungen aus, für deren Beschreibung die Navier-Stokes-Gleichungen als zuverlässige Grundlage dienen können. Die Hartmann-Strömung wird, ähnlich der Poiseuille-Strömung, beispielsweise bei MHD-Pumpen eingesetzt. Dabei wird eine ebene stationäre Strömung einer elektrisch leitfähigen Flüssigkeit zwischen zwei isolierten Platten in einem transversalen Magnetfeld betrachtet.

Das Ziel dieses Kursprojekts besteht darin, die Haupteigenschaften einer flachen stationären laminaren Strömung einer viskosen inkompressiblen Flüssigkeit mit parabolischer Geschwindigkeitsverteilung (Poiseuille-Strömung) zu betrachten und zu finden.

Kontinuitätsgleichung

Die resultierenden Ausdrücke können gleichgesetzt werden, da sie denselben Wert ergeben. Dabei ist zu berücksichtigen, dass das erste Integral positiv ist, wenn mehr Flüssigkeit durch die Oberfläche S ausfließt als einfließt, und das zweite unter der gleichen Bedingung negativ ist, da aufgrund der Kontinuität des Einströmens Im betrachteten Fall nimmt die Dichte mit der Zeit ab

Nach dem Ostrogradsky-Gauss-Theorem:

In der Vektoranalyse wird die Summe partieller Ableitungen von Vektorprojektionen entlang derselben Koordinaten Divergenz oder Vektordivergenz genannt. In diesem Fall

daher kann Gleichung (1) umgeschrieben werden als

Da das Volumen W beliebig ist, ist die Integrandenfunktion gleich Null, d.h.

Gleichung (2) ist eine Kontinuitätsgleichung in Differentialform für eine beliebige Bewegung eines kompressiblen Fluids. Beziehung (1) kann als Integralform der Kontinuitätsgleichung betrachtet werden.

Wenn wir die Bedingung der Erhaltung der Masse eines bewegten Flüssigkeitsvolumens betrachten, kommen wir auch zu Gleichung (2), die in diesem Fall eine andere Form haben kann.

Da c = c (x, y, z, t) und wenn sich das Flüssigkeitsvolumen bewegt, x = x(t),

y = y (t), z = z (t), dann

d.h. Gleichung (2) hat die Form

wobei dс/dt die Gesamtableitung der Dichte ist.

Für eine stetige Bewegung einer kompressiblen Flüssigkeit gilt ∂с/∂t = 0 und. daher erhalten wir aus Gleichung (2).

Für jede Bewegung einer inkompressiblen Flüssigkeit ist c = const und daher

3. Bewegungsgleichung einer viskosen Flüssigkeit in der Navier-Stokes-Form

Gleichung der Flüssigkeitsbewegung bei Spannungen:

Nach dem Newtonschen Gesetz sind viskose Spannungen während der geradlinigen Flüssigkeitsbewegung proportional zu den Winkelverformungsraten. Eine Verallgemeinerung dieser Tatsache auf den Fall willkürlicher Bewegung ist die Hypothese, dass Tangentialspannungen sowie Teile von Normalspannungen, die von der Orientierung der Flächen abhängen, proportional zu den entsprechenden Dehnungsraten sind. Mit anderen Worten: In allen Fällen der Flüssigkeitsbewegung wird ein linearer Zusammenhang zwischen viskosen Spannungen und Dehnungsraten angenommen. In diesem Fall muss der Proportionalitätskoeffizient in den Formeln, die diese Beziehung ausdrücken, der dynamische Viskositätskoeffizient m sein

Durch Einführen der Ausdrücke (7) in Gleichung (6) erhalten wir

Indem wir Terme mit zweiten Ableitungen gruppieren, durch c dividieren und den Laplace-Operator verwenden, schreiben wir:

Diese Gleichungen werden Navier-Stokes-Gleichungen genannt; Sie werden verwendet, um die Bewegungen viskoser kompressibler Flüssigkeiten und Gase zu beschreiben.

Im Allgemeinen ist es unmöglich, ein Gleichungssystem, das das Verhalten einer viskosen Flüssigkeit beschreibt, mit analytischen Methoden zu lösen. Nur für einige der einfachsten Strömungsarten gibt es für diese Gleichungen analytische Lösungen. Probleme von praktischer Bedeutung werden hauptsächlich mit approximativen numerischen Methoden am Computer gelöst. Die Hauptschwierigkeit bei der analytischen Lösung dieser Gleichungen liegt im nichtlinearen Term. In diesem Abschnitt betrachten wir die einfachsten stationären Strömungen, für die der Term identisch gleich Null ist. Das Couette- und Poiseuille-Strömungen.

Es gibt zwei Möglichkeiten, die Bewegung einer viskosen Flüssigkeit herbeizuführen: durch äußere Kräfte (Volumenkräfte oder Druckkräfte, z. B. durch Erzeugen einer Druckdifferenz an den Enden eines horizontalen Rohrs oder Entfernen des Rohrs aus der horizontalen Position) oder durch Bewegen der Wände, die die Flüssigkeit einschließen.

Eine durch äußere Druckkräfte verursachte stetige Strömung wird als Poiseuille-Strömung bezeichnet, eine durch sich bewegende Wände verursachte Strömung wird als Couette-Strömung bezeichnet. Die im vorherigen Absatz beschriebenen Flüsse sind Beispiele für solche Flüsse.

1 . Planparallele Couette-Strömung. Lassen Sie uns die Verteilung der Geschwindigkeiten und Drücke in der in Abb. gezeigten Strömung untersuchen. 19.13a. Verknüpfung der Koordinatenebene XY mit der Bodenplatte ergibt sich für die Randbedingungen:

. (19.64)

Für eine stationäre Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit nimmt die Kontinuitätsgleichung die folgende Form an:

(19.65)

und die Navier-Stokes-Gleichung

. (19.66)

Aufgrund der Symmetrie der Strömung kann argumentiert werden, dass nur eine Geschwindigkeitskomponente ungleich Null ist. Es ist auch offensichtlich, dass die Geschwindigkeit (wie der Druck) nicht von der Koordinate abhängen kann. In diesem Fall folgt aus der Kontinuitätsgleichung (19.65) =0, also auch unabhängig von der Koordinate X . Bedeutet, . Unter diesen Bedingungen ist das offensichtlich

. (19.67)

Gleichung (19.66) auf die Achse projizieren X und Z , unter Berücksichtigung der Tatsache, dass es in der Couette-Strömung entlang der Strömung keinen Druckabfall gibt p = p(z), wir erhalten

. (19.68)

Die zweite Gleichung gibt die Verteilung des hydrostatischen Drucks in der Flüssigkeit an, die keinen Einfluss auf die Strömungsdynamik hat, und aus der ersten Gleichung erhalten wir das Gesetz

Die Integrationskonstanten A und B werden aus den Randbedingungen (19.64) bestimmt: . Folglich hat die Geschwindigkeit in einer planparallelen Couette-Strömung die folgende Verteilung:

, (19.69)

dargestellt in Abb. 19.13 b (lineares Geschwindigkeitsprofil). Die Reibungsspannung in der Flüssigkeit ist überall gleich und gleich groß

(19.70)

Außerdem hat es auf der unteren Platte die Strömungsrichtung und auf der oberen Platte die entgegengesetzte Richtung. Damit sich die untere Platte nicht bewegt, muss daher eine Kraft auf sie ausgeübt werden, wobei die Oberfläche der Platte groß ist.

2 . Planparallele Poiseuille-Strömung. In diesem Fall sind die Platten bewegungslos, jedoch entlang der Achse X eine konstante Druckdifferenz bleibt erhalten:

. (19.71)

Und wieder erhalten wir die Bedingung, basierend auf Symmetrieüberlegungen und unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung. Also gelten auch die Beziehungen (19.67). Projizieren der Navier-Stokes-Gleichung auf die Achse X und Z erhalten wir

. (19.72)

Aus der ersten Gleichung erhalten wir. Wenn wir es in die zweite Gleichung einsetzen, erhalten wir

(19.73)

Die linke Seite davon hängt nur davon ab X, und das rechte ist von z . Dies ist möglich, wenn die linke und rechte Seite der Gleichung gleich derselben Konstante A sind, die in (19.73) ausgedrückt wird. Unter Verwendung der Bedingung (19.71) erhalten wir

(19.74)

Wo. Integrieren von Gleichung (19.73) über z wird geben

. (19.74)

Konstante B und C Die Integration wird anhand der „Kopplungs“-Bedingung bestimmt

. (19.75)

Nachdem ich die Konstanten bestimmt habe B, C und wenn wir sie in (19.74) einsetzen, erhalten wir:

. (19.76)

Abb. 19.14

Wie wir sehen, ist die planparallele Poiseuille-Strömung durch ein parabolisches Profil des Geschwindigkeitsfeldes gekennzeichnet (Abb. 19.14). Die Reibungsspannung an den Wänden ist entlang der Achse gerichtet X und gleich.

3 . Poiseuille-Fluss in einem runden zylindrischen Rohr. Da die Strömung in einem geraden Rohr symmetrisch zum Zylinder ist, ist es zweckmäßig, die Achse entlang dieser Achse auszurichten und die Koordinatenebene mit der Basis zu verbinden (Abb. 19.15). Die Strömung wird durch eine konstante Druckdifferenz erzeugt und aufrechterhalten:

. (19.77)

Es ist klar, dass die Geschwindigkeit im Zylinder nur eine Komponente hat. Aufgrund der Achsensymmetrie der Strömung sind die Größen unabhängig von der Koordinate (die Schwerkraft wird bei diesem Problem nicht berücksichtigt). Aus der Kontinuitätsgleichung folgt, dass sie nicht auch abhängen kann von:

. (19.78)

In diesem Fall

Unter Berücksichtigung des Letzteren ergeben sich die Komponenten und Navier-Stokes-Gleichungen

. (19.79)

Aus der ersten Gleichung folgt, dass die linke und rechte Seite der zweiten Gleichung, da sie von verschiedenen unabhängigen Variablen abhängig sind, gleich dem gleichen konstanten Wert sein müssen. Aus Bedingung (19.77) bestimmen wir

Abb. 19.15

Wenn wir dies in (19.79) einsetzen und darüber integrieren, erhalten wir:

Aus der Endlichkeit der Geschwindigkeit auf der Achse folgt, dass a aus der Randbedingung der Geschwindigkeit bestimmt wird:

(19.80)

Wo ist der Radius des Zylinders? Das bedeutet, dass das Geschwindigkeitsprofil wieder parabolisch ist

(19.81)

bei dem die Geschwindigkeit ihren Maximalwert auf der Zylinderachse erreicht:

Die Flüssigkeitsmasse, die pro Zeiteinheit über den Querschnitt des Rohrs fließt, beträgt

(19.82)

das heißt, sie ist direkt proportional zum Produkt aus der vierten Potenz des Rohrradius und dem Druckabfall und umgekehrt proportional zur kinetischen Viskosität der Flüssigkeit.

Die Reibungsspannung an der Rohrwand ist in diesem Fall gleich

und entlang der Strömung gerichtet.

Bei den in diesem Abschnitt betrachteten Strömungen handelt es sich um Idealisierungen, da Festkörper (Platten, Rohre) als unendlich angenommen werden. Die erzielten Ergebnisse werden jedoch in der Praxis verwendet, wenn beispielsweise die Länge und Breite der Platten viel größer sind als der Abstand zwischen ihnen oder wenn die Länge des Zylinders viel größer ist als sein Radius. Experimente, die in ähnlichen Zylindern durchgeführt wurden, führten Hagen (1839) und Poiseuille (1840) zu dem Ergebnis (19.82), das später von Stokes (1845) theoretisch ermittelt wurde. Es ist bezeichnend, dass Hagen auch argumentierte, dass das Ergebnis (19.82) experimentell bei niedrigen Geschwindigkeiten und nicht sehr niedrigen Viskositätswerten auftritt.

Laminare Strömung einer viskosen inkompressiblen Flüssigkeit in einem zylindrischen Rohr

Animation

Beschreibung

Aufgrund der laminaren (schichtigen) Natur der Strömung einer viskosen inkompressiblen Flüssigkeit in einem zylindrischen Rohr ist die Strömungsgeschwindigkeit in gewisser Weise über den Rohrquerschnitt verteilt (Abb. 1).

Geschwindigkeitsverteilung am Rohreingang bei laminarer Strömung

Reis. 1

L1 ist die Länge des Anfangsabschnitts der Bildung eines Profils mit konstanter Geschwindigkeit.

Poiseuilles Gesetz (dessen mathematischer Ausdruck ist Poiseuilles Formel) stellt die Beziehung zwischen dem pro Zeiteinheit durch ein Rohr fließenden Flüssigkeitsvolumen (Durchflussrate), der Länge und dem Radius des Rohrs sowie dem Druckabfall darin her.

Lassen Sie die Rohrachse mit der Oz-Achse des rechteckigen kartesischen Koordinatensystems zusammenfallen. Bei laminarer Strömung ist die Flüssigkeitsgeschwindigkeit v an allen Punkten des Rohrs parallel zur Oz-Achse, d.h. v x = v y = 0, v z = v . Aus der Kontinuitätsgleichung

dv /dt =F - (1/ r )grad p ,

wobei F die Feldstärke der Massenkräfte ist;

p - Druck;

r - Flüssigkeitsdichte,

folgt dem

dv/dz = 0, d.h. v = f(x,y) .

Aus der Bewegungsgleichung einer viskosen inkompressiblen Flüssigkeit (Navier-Stokes) folgt:

dp/dx = dp/dy= 0,

dp/dz = dp/dz = h(d 2 v/dx 2 + d 2 v/dy 2 ) = const = -(D p/l) ,

wobei D p der Druckabfall über einem Rohrabschnitt der Länge l ist.

Für ein rundes zylindrisches Rohr kann diese Gleichung dargestellt werden als:

(1/r)d(r(dv/dr))/dr = - D p/ h l ,

wobei r = sqr(x 2 + y 2) der Abstand von der Rohrachse ist.

Die Geschwindigkeitsverteilung über den Rohrquerschnitt ist parabolisch und wird durch die Formel ausgedrückt:

v(r) = (D p / 4 h l) (R 2 - r 2 ),

wobei R der Radius des Rohrs ist;

r ist der Abstand von der Achse zum betrachteten Querschnittspunkt;

h ist die dynamische Viskosität der Flüssigkeit;

D p - Druckabfall über einen Rohrabschnitt der Länge l.

Der zweite Flüssigkeitsvolumenstrom wird bestimmt durch Poiseuilles Formel:

Q c = [(p R 4 ) /8 h l] D p.

Diese Formel gilt für laminare Strömungen, deren Existenzbedingungen durch die kritische Reynolds-Zahl Re cr (Re = 2Q c /p R n, n – kinematische Viskosität) gekennzeichnet sind. Bei Re = Re cr wird die laminare Strömung turbulent. Für glatte Rundrohre Re cr » 2300.

Timing-Eigenschaften

Initiierungszeit (log bis -1 bis 1);

Lebensdauer (log tc von -1 bis 5);

Abbauzeit (log td von -1 bis 1);

Optimale Entwicklungszeit (log tk von 0 bis 2).

Diagramm:

Technische Umsetzungen des Effekts

Das Gesetz von Poiseuille wird angewendet, um die Koeffizienten verschiedener Flüssigkeiten bei verschiedenen Temperaturen mithilfe von Kapillarviskosimetern zu bestimmen.

Technische Umsetzung des Effekts

Reis. 2

Bezeichnungen:

1 - Kontrollabschnitt des Rohres;

2 - Ballon;

3 - Getriebe;

4 - Druckregler;

5 - Manometer;

6 - Ventil;

7 - Durchflussmesser.

Die Poiseuille-Gleichung spielt eine wichtige Rolle in der Physiologie unseres Kreislaufs.

Anwenden eines Effekts

Die Poiseuille-Formel wird bei der Berechnung von Indikatoren für den Transport von Flüssigkeiten und Gasen in Rohrleitungen für verschiedene Zwecke verwendet. Der laminare Betriebsmodus von Öl- und Gaspipelines ist der energieeffizienteste. So ist insbesondere der Reibungskoeffizient im laminaren Modus praktisch unabhängig von der Rauheit der Rohrinnenoberfläche (glatte Rohre).

Literatur

1. Brekhovskikh L.M., Goncharov V.V. Einführung in die Kontinuumsmechanik. - M.: Nauka, 1982.

2. Entwicklung und Betrieb von Öl-, Gas- und Gaskondensatfeldern / Ed. Sh.K. Gimatudinova. - M.: Nedra, 1988.

Stichworte

• Viskosität
• Druck
• dynamische Viskosität
• Hydrodynamik
• viskose Flüssigkeit
• laminare Strömung
• Druck
• Druckverlust
• Rohr
• Poiseuilles Gesetz
• Poiseuille-Formel
• Reynolds Nummer
• Die Reynolds-Zahl ist entscheidend

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